La Philosophie des Mathematiques de Henri Poincaré
Jan Johann Albinn Mooij

Samenvatting:

Het doel van dit proefschrift is: Poincaré's denkbeelden op het terrein van de filosofie van de wiskunde gedetailleerd te beschrijven en waar nodig te verduidelijken. Daarbij wordt aandacht besteed aan een confrontatie met overeenkomstige zowel als concurrerende denkbeelden bij tijdgenoten en voorgangers. Dit leek gewenst met het oog op de polemische inslag van Poincare's filosofie.

Met betrekking tot de meetkunde verdedigde Poincare het conventionele karakter van verscheidene axioma's. Deze visie sluit nauw aan bij zijn opvattingen over de natuurwetenschappen en zij betreft dan ook bij uitstek de fysische meetkunde. De kwestie wordt in hoofdstuk I besproken.

Hoofdstuk II geeft een overzicht van de voornaamste resultaten in het grondslagenonderzoek van de wiskunde in de jaren 1875-1910 voorzover dit niet op de meetkunde betrekking heeft. Speciaal G. Frege, R. Dedekind, G. Peano en B. Russell worden behandeld.

Hoofdstuk III bevat een bespreking van het vroegere werk van Poincare, evenals van dat van L. Couturat.

De artikelen, die laatstgenoemde schreef naar aanleiding van The Principles of Mathematics door Betrand Russell en die in boekvorm verschenen onder de titel Les Principes des Mathématiques, waren voor Poincare aanleiding tot een aanval op het logicisme. In een reeks artikelen beklemtoont hij het grote belang, voor de wiskunde in het algemeen en de rekenkunde in het bijzonder, van de intuitie als tegenhanger van de logica. Volgens Poincare is het onmogelijk op grond van de logica alleen een bevredigende verklaring van het wezen en de ontwikkeling van de wiskunde te geven; deze wetenschap voert tot ontdekkingen en generalisaties, die Volgens hem geen afdoende logische rechtvaardiging toelaten. Het meningverschil leidde tot uitgebreide en veelal interessante polemieken, waarin door toedoen van Poincare de problematiek van de volledige inductie een centrale rol speelde.

Aan deze fase is een belangrijk deel van deze studie gewijd. De meer algemene aspecten worden behandeld in hoofdstuk IV. Enkele meer specifieke onderwerpen, te weten Poincaré's verhouding tot het formalisme van D. Hilbert en tot de verzamelingenleer van G. Cantor en E. Zermelo, komen aan de orde in de hoofdstukken V en VI.

Ondanks zijn verdediging van de rechten van de intuitie, zou het onjuist zijn Poincaré uitsluitend als intuitionist te kenschetsen. Naast intuitionistische koesterde hij ook formalistische denkbeelden, zoals bijv. blijkt uit zijn opvattin_g over de wiskundige existentie. Het grondslagen-onderzoek van Hilbert, zowel op het gebied van de meetkunde als op dat van de getallenleer, werd door hem met grote belangstelling gevolgd. De door hem geuite kritiek is hier vaak vruchtbaar geweest.

Minder succesvol waren zijn aanvallen op het werk van Russell en enkele nauw met hem verwante onderzoekers. Zijn kennis van de mathematische (symbolische) logica was klaarblijkelijk gering; logica was voor hem in wezen aristotelische logica. Zijn argumenten zijn daardoor soms minder overtuigend dan men zou wensen; ook zijn ze meer dan eens emotioneel gekleurd.

Wel kan gezegd worden, dat hij in verband met het probleem van de paradoxen nuttig werk heeft verricht, terwijl hij ook wel zekere overdreven verwachtingen bij sommige van zijn tegenstanders heeft aangetoond. En uiteraard is het vanuit historisch standpunt belangwekkend wanneer iemand van Poincaré's kwaliteiten zich rekenschap tracht te geven van de voornaamste stromingen en ontwikkelingen op het gebied van het wiskundig grondslagenonderzoek, in een periode die men met een term van Karl Jaspers (zij het hier in iets andere zin gebruikt) als « Achsenzeit » zou kunnen kenschetsen.

In hoofdstuk VII wordt getracht Poincaré's intuitiebegrip iets scherper te omlijnen, en zijn opvattingen omtrent de wiskunde te vergelijken met die van Ernst Cassirer. Beiden beriepen zich op Kant, maar er zijn belangrijke verschillen. Ook wordt hier op het probleem der wiskundige zekerheid ingegaan, zoals dat o.m. door G. Mannoury aan de orde was gesteld.

In hoofdstuk VIII wordt betoogd dat Poincaré's opvattingen in verrassende mate passen in de tradities van de franse filosofie. Ofschoon de deductie door franse filosofen vaak en intensief besproken werd, ging dit veelal met bagatellisering van de formele logica gepaard. Mede onder invloed van Poincare kwam de beoefening van de mathematische logica in Frankrijk eerst laat tot ontwikkeling.