Surjective pairing and strong normalization: two themes in lambda calculus
Roel de Vrijer

In dit proefschrift worden een aantal verschillende formele systemen onderzocht, die alle opgevat kunnen worden als varianten van de \lambda-calculus. Het bestaat uit vijf onafhankelijke artikelen, voorafgegaan door een algemene inleiding. De artikelen zijn opgenomen in de omgekeerde volgorde van die waarin ze werden geschreven.
In de inleiding wordt de zogenaamde sterke normalisatie-eigenschap, één van de twee in de titel van dit proefschrift genoemde thema’s, besproken met het oog op mogelijke toepassingen in Church-Rosser bewijzen.
Het eerste en meest omvangrijke hoofdstuk gaat over het systeem \lambda\pi, de uitbreiding van de zuivere ongetypeerde \lambda-calculus met constanten en axioma’s voor sunjectieve paring. Volgens het zogenaamde surjectiviteitsaxioma kunnen alle termen van de \lambda-calculus worden opgevat als een paar. Hoewel door het aangeven van een model de consistentie van \lambda\pi eenvoudig is vast te stellen, was tot dusverre niet bekend of er door deze uitbreiding aan de bewijsbare betrekkingen tussen de pure \lambda-termen nieuwe toegevoegd worden. Deze vraag wordt in hoofdstuk 1 ontkennend beantwoord.
In hoofdstuk 2 wordt een klassiek sterk normaliseringsresultaat uit de ongetypeerde \lambda-calculus, waarvan de betekenis in de algemene inleiding is toegelicht, van een nieuw en eenvoudig bewijs voorzien.
Het idee uit hoofdstuk 2 om voor het afschatten van een reductieboom gebruik te maken van een “maximaal oneconomische” reductiestrategie wordt in hoofdstuk 3 toegepast in de getypeerde \lambda-calculus. Er worden twee bewijzen van sterke normalisatie gegeven, een kort bewijs dat zeer inzichtelijk is en een gecompliceerder bewijs, dat als compensatie echter extra informatie oplevert over de structurele eigenschappen van reductiebomen.
In hoofdstuk 4 wordt in een concreet geval aangetoond dat onder de toevoeging van surjectieve paring aan een getypeerd systeem sterke normalisatie behouden blijft. Hieruit blijkt volgens een in de algemene inleiding aangegeven methode dot in een zo verkregen systeem in het algemeen ook de Church-Rosser eigenschap zal gelden. Hierdoor is het in een dergeliJk getypeerd systeem niet nodig gebruik te maken van de gecompliceerde methoden van hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 5 is een gepubliceerd artikel, dat een essentiële bijdrage levert aan de bewijstheorie (de zogenaamde “taaltheorie”) van Automath-systemen. Deze systemen werden door de Nederlandse wiskundige N.G. de Bruijn ontworpen met het doel tot een zodanige formalisering van de wiskundige betoogtrant te komen dat (i) het daadwerkelijk formaliseren van wiskunde uivoerbaar is; (ii) de gecodeerde redeneringen mechanisch gecontroleerd kunnen worden.
Aan dit project ligt een natuurlijke, logische analyse van redeneren ten grondslag, die gebruik maakt van principes uit de \lambda-calculus.