%Nr: DS-1998-01 %Author: Sebastiaan A. Terwijn %Title: Computability and Measure Samenvatting: In dit proefschrift bespreken we een aantal vraagstukken uit de recursietheorie die betrekking hebben op maat en willekeurigheid. Het centrale begrip in de recursietheorie is het begrip `recursieve verzameling'. Een verzameling is recursief als er een algoritme bestaat om te bepalen of iets een element is van deze verzameling. Bij het bestuderen van deelklassen van de klasse van recursieve verzamelingen spreekt men in het algemeen van complexiteitstheorie. In hoofdstuk~1 introduceren en bespreken we de centrale begrippen uit dit proefschrift. In het bijzonder bespreken we enige elementaire maattheorie en de presentatie daarvan met behulp van zogenaamde martingalen. Deze functies, die opgevat kunnen worden als gokstrategie\"en, worden in een groot deel van dit proefschrift gebruikt om constructieve maattheorie te beschrijven. Dit in navolging van het werk van Schnorr en Lutz. In deze theorie worden diverse begrippen uit de klassieke maattheorie constructief gemaakt door de eis op te leggen dat ze {\em berekenbaar\/} zijn. De mate van berekenbaarheid fungeert hier als een parameter $\Delta$, waaraan we kunnen denken als een begrenzing op de toegestane methoden. Hierom wordt deze vorm van constructieve maattheorie ook wel `begrensde maattheorie' genoemd. Het doel van begrensde maattheorie is tweeledig. Ten eerste wordt het door $\Delta$ voldoende strikt te kiezen mogelijk om idee\"en uit de klassieke maattheorie toe te passen op de studie van diverse complexiteitsklassen. Dit geeft informatie over hoe de `meeste' elementen van een complexiteitsklasse zich gedragen. Ten tweede geeft het bestuderen van begrensde maattheorie inzicht in het gedrag van {\em willekeurige\/} of {\em toevals-\/}verzamelingen. We kunnen hieraan denken als verzamelingen die gegenereerd zijn door een toevalsproces, zoals bijvoorbeeld het opwerpen van een munt. Een verzameling $A$ is $\Delta$-willekeurig als $\{A\}$ niet maat nul heeft in de begrensde maattheorie met parameter $\Delta$. Intu\"\i tief betekent dit dat een algoritme uit de klasse $\Delta$ geen regelmaat kan ontdekken in de ver\-za\-me\-ling~$A$. Bovenstaande idee\"en worden in hoofdstuk~2 toegepast op de com\-ple\-xi\-teits\-klas\-se E van verzamelingen die berekenbaar zijn in exponenti\"ele tijd. In het eerste deel van dit hoofdstuk worden zogenaamde generische verzamelingen bestudeerd en gebruikt om een generalisatie te bewijzen van een stelling van Juedes en Lutz. In sectie 2.5 worden willekeurigheid en genericiteit met elkaar vergeleken en wordt duidelijk dat in deze context generische verzamelingen opgevat kunnen worden als een zwakke variant van toevalsverzamelingen. In het tweede deel van hoofdstuk~2 worden toevalsverzamelingen gebruikt om een vraag van Lutz te beantwoorden over het bestaan van zwak volledige verzamelingen die niet volledig zijn. In hoofdstuk~3 wordt het ontwerp van Lutz voor begrensde maattheorie enigszins aangepast om een maat te defini\"eren die geschikt is voor de studie van recursief opsombare (afgekort r.e., voor `recursively enumerable') verzamelingen. Dit is een klasse van verzamelingen die een prominente rol speelt in de recursietheorie. We bestuderen zwakke begrippen van volledigheid en verkrijgen een volledig beeld (zie plaatje pagina 57) van de relaties tussen de verschillende begrippen van zwakke en `gewone' volledigheid. De studie van deze begrippen heeft ook consequenties voor een vraag die het begrip maat niet noemt, namelijk de vraag in hoeverre een onvolledige verzameling op een volledige verzameling kan lijken. Deze vraag wordt behandeld in sectie~3.3. In hoofdstuk~4 bestuderen we klassen van martingalen corresponderend met de klassen uit de aritmetische hi\"erarchie. In het bijzonder bestuderen we de begrensde maat gedefinieerd door voor de klasse $\Delta$ de verzameling van recursief opsombare functies te nemen. De bij\-behorende toevalsverzamelingen zijn precies de verzamelingen die oorspronkelijk ge\"{\i}ntroduceerd zijn door Martin-L\"of als voorstel voor een algemene definitie van willekeurigheid. Het bestaan van universele recursief opsombare verzamelingen heeft tot gevolg dat de r.e.-willekeurige verzamelingen mooie eigenschappen hebben. We beschrijven de distributie van deze verzamelingen in termen van de bekende reduceerbaarheids-relaties uit de recursietheorie. We localiseren de klasse $R({\rm r.e.})$ van verzamelingen die geconstrueerd worden door zogenaamde r.e.-constructoren (pagina 65). In tegenstelling tot de klassen $R(\Delta)$ uit Lutz' begrensde maattheorie komt de klasse $R({\rm r.e.})$ niet overeen met een bekende klasse uit de recursietheorie. Tenslotte behandelen we analoge vragen voor de maten behorende bij de niveaus $\Delta_n$ van de aritmetische hi\"erarchie, en bewijzen we dat deze maten samenvallen met de maten behorend bij de niveaus $\Pi_n$. Hoofdstuk 5 behandelt verzamelingen die `laag' (low) zijn voor twee klassen van toevalsverzamelingen: de klasse $\EuScript R$ van Martin-L\"of uit hoofdstuk~4 en de klasse $\EuScript S$, oorspronkelijk ge\"{\i}ntroduceerd door Schnorr als een meer constructieve versie van $\EuScript R$. Een verzameling $A$ is laag voor een klasse $\cal C$ als voor de ge\-re\-la\-ti\-veer\-de versie ${\cal C}^A$ van $\cal C$ geldt dat ${\cal C}={\cal C}^A$. Intu\"{\i}tief: als $A$ relatief $\cal C$ niet bijdraagt in rekenkracht. Recursieve verzamelingen zijn trivialiter laag voor zowel $\EuScript R$ als $\EuScript S$. We bewijzen dat in beide gevallen ook niet-recursieve verzamelingen bestaan die laag zijn. Dit toont aan dat substanti\"ele hoeveelheden informatie op zo'n manier gecodeerd kunnen liggen in een verzameling dat ze niet toegankelijk zijn voor elementen van respectievelijk $\EuScript R$ en $\EuScript S$. De gevallen $\EuScript R$ en $\EuScript S$ verschillen aanzienlijk. In het geval van $\EuScript R$ construeren we een niet-recursieve, recursief opsombare lage verzameling, en weten we niet of er zulke verzamelingen buiten $\Delta_2$ bestaan. In het geval van $\EuScript S$ construeren we $2^{\aleph_0}$ niet-recursieve lage verzamelingen en laten we zien dat deze noodzakelijkerwijs buiten $\Delta_2$ moeten liggen. De resultaten voor de verzamelingen die laag zijn voor $\EuScript S$ worden verkregen via een karakterisering van deze verzamelingen in puur recursietheoretische begrippen, dat wil zeggen zonder vermelding van maattheorie. Volgens deze karakterisering zijn de functies die recursief zijn in een lage verzameling recursief {\em traceerbaar\/} (sectie 5.4). We laten verder nog zien dat verzamelingen die laag zijn voor $\EuScript S$ hyper-immuun zijn, en dat de omkering van deze bewering niet algemeen geldt. In hoofdstuk~6, tenslotte, bespreken we kort een aantal thema's die betrekking hebben op recursieve martingalen. Aan de orde komen re\-du\-ceer\-baar\-heid naar toe\-vals\-ver\-za\-me\-lin\-gen, relaties tussen recursieve willekeurigheid en Kol\-mo\-go\-rov-com\-ple\-xi\-teit, de relatie tussen de maat gedefinieerd door recursieve martingalen en de maat van Schnorr bestudeerd in secties 5.4 en 5.5, partieel recursieve martingalen, en maat in $\Delta_2$.