%Nr: DS-1998-04 %Title: Modal Logic and Non-Well-Founded Set Theory: Translation, % Bisimulation, Interpolation %Author: Giovanna d'Agostino Bisimulatie is een eenvoudige en natuurlijke notie van equivalentie tussen verschillende weergaven van processen en verwante structuren, die sinds 1980 een belangrijk begrip is geworden in logica en informatica. Met name verbindt het de twee voornaamste gebieden die in dit proefschrift worden samengebracht: "uitgebreide modale logica's" en "niet-gefundeerde verzamelingen". Modale logica's beschrijven z.g. proces-invarianten, d.w.z. eigenschappen die processen blijven bewaren, ook onder een andere manier van beschrijven van hun toestanden en toestandsovergangen, mits die laatste een geschikte bisimulatie toelaat met de eerdere weergave. Dit verband blijkt overigens heel flexibel: verschillende noties van simulatie blijken equivalent met verschillende visies op een proces, en deze weer met verschillende modale talen om invarianten te beschrijven. Verzamelingen hebben althans formeel eenzelfde structuur als processen: hun leden zijn op te vatten als toestanden, en overgangen zijn mogelijk hiertussen langs de relatie "element van". In de moderne "niet-gefundeerde verzamelingenleer" blijkt deze parallel essentieel. Het gaat hier om een uitbreiding van de klassieke verzamelingenleer met de mogelijkheid van circulariteit en oneindige regressie in lidmaatschap -iets wat op vele gebieden in de moderne semantiek en informatica nuttig blijkt. Twee weergaven van een niet-gefundeerde verzameling gelden nu als "hetzelfde" wanneer er een bisimulatie tussen bestaat. Ook dit verband blijkt weer flexibel: verschillende noties van simulatie genereren verschillende genres "verzamelingen", en daarmee verschillende grondlagentheorieen. De aldus geslagen bruggen tussen modale logica, verzamelingstheorie, en procestheorie kunnen gebruikt worden om resultaten en technieken de een oever over te hevelen naar de andere. Hierbij ontstaan vaak verrassende nieuwe inzichten. In dit proefschrift steken we een aantal malen over. Onze voornaamste resultaten zijn daarbij als volgt -na een eerste inleiding in het totale werkterrein. In hoofdstuk 3 bewegen we van modale logica naar procestheorie. We bestuderen de z.g. "_-calculus", een modale procestaal uit de vroege 80er jaren waarin veel rekenprocessen en handelingen in het algemeen op een natuurlijke wijze kunnen worden weergegeven, zodat hun gedrag exact kan worden bestudeerd. Ons hoofdresultaat is dat de _-calculus de logische "uniforme interpolatie-eigenschap" heeft. Dit zegt, heel ruwweg, dat gegevens opgeslagen in deze taal een modulaire structuur hebben, zodat afleiden van verdere informatie zich steeds kan beperken tot de relevante module. Ons bewijs van deze wenselijke eigenschap gebruikt algemene modale logica, maar in het byzonder ook technieken uit de automatentheorie en z.g. "bisimulatie-kwantoren", een recente uitbreiding van standaard modale talen bedacht door Marco Hollenberg. In hoofdstuk 4 introduceren we modale talen als techniek in de verzamelingenleer. Bekend is uit recent werk van Jon Barwise en Larry Moss [7] dat elke niet-gefundeerde verzameling een unieke beschrijving heeft door middel van een modale formule met oneindige conjuncties en disjuncties. Wij generalizeren deze opmerking, en tonen aan dat zulke modale formules een alternatief model vormen voor het gangbare verzamelingstheoretisch universum, beschreven door Peter Aczel [2]. Maar er zijn ook alternatieve visies, waaronder een van Dana Scott, die verzamelingen definieert via een andere simulatie. We identificeren ook hiervoor de juiste modale taal, die de gewone modale logica uitbreidt met z.g. tel-modaliteiten, die aantallen toegankelijke alternatieven tellen vanuit een geven toestand. Dit generalizeert het hoofdresultaat van Barwise & Moss, en maakt ook een spectrum aan verschillende niet-gefundeerde verzamelingsnoties zichtbaar. Tel-modaliteiten (E: "graded modalities") vormen ook op zich een natuurlijk formalisme. Ze komen bijvoorbeeld natuurlijk op bij de veel voorkomende techniek van "uitrollen" van procesmodellen tot bisimulerende boomstructuren. Hajnal Andr'eka bewees dat deze uitgebreide modale taal in het algemeen geen interpolatie kent. Wij laten echter zien in hoofdstuk 5 dat er wel een gemodificeerde vorm van deze eigenschap opgaat (voorgesteld voor oneindige talen door Jon Barwise en Johan van Benthem [5]), die bovendien voor sommige talen met telmodaliteiten te versterken is tot de gebruikelijke versie. Wij bepalen alle gevallen waarin deze "opwaardering" mogelijk is. Tenslotte steken we nogmaals over van verzamelingenleer naar modale logica. In hoofdstuk 6 laten we zien hoe modale talen kunnen worden vertaald in een verzamelingenleer, met als voornaamste idee de behandeling van een "universele modaliteit" als een machtsverzamelingsoperator. Als gevolg kunnne we geldigheid in allerlei modale logica's, na vertaling, opvatten als afleidbaarheid in een eenvoudige axiomatische theorie van niet-gefundeerde verzamelingen: \Omega . Deze theorie werd in 1995 voorgesteld door D'Agostino, Montanari en Policriti in [20] als een computationeel aantrekkelijke "kern" van de standaard verzamelingstheorie. Om met deze techniek ook allerlei uitgebreide modale logica's te kunnen behandelen, breiden we de basis modale logica uit tot een natuurlijke tweede-orde logica L2. Tegelijkertijd versterken we Omega met axioma's die ons alle verzamelingstheoretische operaties geven in het "construeerbare universum", gebruikt door Kurt G"odel voor zijn bewijs van consistentie van de continuum hypothese. Ons voornaamste resultaat is een getrouwe vertaling van afleidbaarheid in L2 naar afleidbaarheid in deze sterkere verzamelingenleer. Verzamelingenleer valt dus te bestuderen met modale logica's, maar het omgekeerde geldt evenzeer. Onze voornaamste conclusie is dat modale logica, procestheorieen, en verzamelingsleer vele bruikbare analogieen bezitten. Onze aanbeveling is om deze gebieden dan ook meer in samenhang te bestuderen.