%Nr: DS-2001-06 %Author: Ronald de Wolf %Title: Quantum Computing and Communication Complexity Computers zijn fysische objecten en dus onderhevig aan de wetten van de natuurkunde. Het is daarom enigszins verrassend dat de computers van tegenwoordig (zowel theoretische Turing machines als huis-tuin-en-keuken PCs) ontwikkeld zijn op basis van de klassieke natuurkunde, en niet op basis van de 20e eeuwse opvolger daarvan, de quantum mechanica. Het nieuwe vakgebied quantum computing herstelt deze omissie door de eigenschappen te bestuderen van computers die zich gedragen volgens de wetten van de quantum mechanica. Een van de meest opvallende eigenschappen van de quantum computer is dat deze in een superpositie van allerlei klassieke toestanden tegelijk kan zijn, die interferentiepatronen kunnen vertonen. Een van de belangrijkste doelen van quantum computing is om quantum algoritmes (berekeningschema's) te vinden die bepaalde computationele problemen veel sneller kunnen oplossen dan de beste klassieke algoritmes. De twee succesvolste quantum algoritmes tot nu toe zijn Shor's algoritme uit 1994 dat snel de priemfactoren van grote getallen kan vinden (waarmee de meeste moderne cryptografische systemen gekraakt zouden kunnen worden) en Grover's algoritme uit 1996 dat een zoekruimte van $n$ elementen in ongeveer $\sqrt{n}$ stappen kan doorzoeken. Deel I: Query Complexiteit -------------------------- Het beginpunt van deel I van dit proefschrift is de observatie dat vrijwel alle bestaande quantum algoritmes (inclusief die van Shor en Grover) beschreven kunnen worden in termen van query complexiteit: de quantum algoritmes hoeven veel minder vaak naar bits van de input te ``kijken'' dan klassieke algoritmes. Het lijkt er op dat dit model van query complexititeit een significant deel van de kracht van quantum computers bevat. Daarom maken we in deel I van het proefschrift een algemene en gedetailleerde vergelijking tussen quantum query complexiteit en klassieke query complexiteit voor allerlei computationele problemen. Ons belangrijkste instrument in deze vergelijking is algebraisch: we bewijzen dat de graad van een polynoom dat het computationele probleem representeert, een ondergrens geeft op quantum query complexiteit. Dit betekent dat we ondergrenzen op quantum complexiteit kunnen bewijzen door polynomen voor die problemen te analyseren. Een van de belangrijkste gevolgen is een bewijs dat quantum query complexiteit hoogstens polynomiaal kleiner kan zijn dan klassieke query complexiteit wanneer we te maken hebben met een totaal computationeel probleem (dat wil zeggen, een probleem dat gedefinieerd is voor alle mogelijke inputs). Met andere woorden, een quantum computer kan alleen exponentieel sneller zijn dan een klassieke computer in dit model wanneer we weten dat de input een bepaalde specifieke eigenschap zal hebben. Bijvoorbeeld in het geval van Shors algoritme weten we dat een bepaalde functie waarnaar het factoriserings-probleem gereduceerd wordt, periodiek is. Afgezien van deze algemene resultaten die voor alle totale problemen gelden, houden we ons ook in detail bezig met verschillende specifieke computationele problemen. We bewijzen bijvoorbeeld dat de kans op een fout antwoord in Grovers algoritme wat beter gereduceerd kan worden wanneer we deze fout-reductie op een quantum manier doen dan wanneer we het op de normale klassieke manier zouden doen (die het algoritme gewoon een paar keer zou herhalen). We ontwikkelen ook een quantum algoritme voor het element distinctness probleem (dit is: zijn de getallen op een gegeven lijst met $n$ getallen allemaal verschillend?) dat ongeveer $n^{3/4}$ stappen nodig heeft. Dit laat zien dat voor een quantum computer het probleem van element distinctness veel eenvoudiger is dan het sorteer-probleem. Dit contrasteert met de klassieke wereld, waarin beide problemen ongeveer $n\log n$ stappen nodig hebben. Tot slot laten we zien dat het negatieve resultaat voor standaard query complexiteit (quantum geeft hoogstens een polynomiale verbetering voor alle totale problemen) niet geldt in twee andere versies van query complexiteit: average-case complexiteit en non-deterministische complexiteit. Voor beide modellen laten we totale computationele problemen zien waarvoor quantum computers exponentieel minder queries nodig hebben dan de beste klassieke algoritmes. Deel II: Communicatie en Complexiteit ------------------------------------- Sinds de jaren '70 is het bekend dat quantum communicatie niet efficienter is dan klassieke communicatie voor informatieoverdracht: als Alice $k$ bits aan informatie wil sturen naar Bob dan zal ze hem minstens $k$ quantum bits moeten sturen. Echter, Cleve en Buhrman hebben ontdekt dat wanneer Alice en Bob niet zozeer informatie willen oversturen, maar een of ander computationeel probleem willen oplossen (Alice krijgt $x$, Bob krijgt $y$, en samen willen ze een functie $f(x,y)$ berekenen met minimale onderlinge communicatie), dan kan de benodigde hoeveelheid communicatie soms drastisch gereduceerd worden als we quantum communicatie toestaan. Bijvoorbeeld, een resultaat van Buhrman, Cleve, en Wigderson laat zien dat als Alice en Bob ieder een agenda hebben met $n$ dagen waarin ze een dag willen vinden waarop ze allebei vrij zijn, dan kunnen ze zo'n dag vinden met zo'n $\sqrt{n}$ quantum bits aan communicatie. Klassiek zijn hier ongeveer $n$ bits voor nodig. In deel II van dit proefschrift bekijken we dit model van communicatie complexiteit van verschillende kanten. We bespreken eerst de belangrijkste voorbeelden waar quantum communicatie complexiteit significant minder is dan klassieke communicatie complexiteit. Daarna bestuderen we de andere kant, en ontwikkelen we technieken om ondergrenzen te bewijzen op quantum communicatie complexiteit. Deze technieken laten bijvoorbeeld zien dat quantum communicatie nauwelijks beter is dan klassieke communicatie voor bijna alle gedistribueerde problemen. We laten echter ook een nieuw geval zien waar de quantum communicatie complexiteit wel veel lager is dan de klassieke complexiteit: in een bepaald 3-partijen model (Alice en Bob sturen allebei een boodschap naar een arbiter, die daarmee $f(x,y)$ moet berekenen), kunnen Alice en Bob testen of hun inputs $x$ en $y$ gelijk zijn met exponentieel veel minder communicatie wanneer we quantum communicatie toestaan. Dit voorbeeld gebruikt een nieuwe techniek die we quantum fingerprinting noemen. In het laatste hoofdstuk bekijken we tenslotte een beveiligingsaspect. Stel dat Alice en Bob hun onderlinge communicatie niet alleen willen minimaliseren, maar deze communicatie ook geheim willen houden: als een derde persoon, Eve, het communicatiekanaal aftapt, dan mag ze hiervan niets leren over de boodschappen die Alice en Bob uitwisselen. Het is bekend dat een gedeelde geheime sleutel van $n$ bits noodzakelijk en voldoende is om een klassieke $n$-bit boodschap van Alice naar Bob te sturen op een manier die geen informatie geeft aan Eve (Shannons stelling). We bewijzen het quantum analogon hiervan: een gedeelde $2n$-bit sleutel is noodzakelijk en voldoende om veilig een boodschap van $n$ quantum bits te kunnen sturen.