%Nr: DS-2002-03 %Title: Spatial Reasoning: Theory and Practice %Author: Marco Aiello Abstract: Ruimtelijke structuren zijn essentieel voor perceptie en cognitie. Een groot deel van onze dagelijkse informatieuitwisselingen betreft de vraag wat er aan de hand is en waar. Daarnaast vormen ruimtelijke representaties een goede bron voor geometrische intuities die een verklaring vormen voor algemene cognitieve taken. Hoe representeren we objecten die in de ruimte zijn gelocaliseerd? Hoe kunnen we over dit soort objecten redeneren? Bijvoorbeeld bij het opdekken van een tafel, wat zijn vanuit ruimtelijk oogpunt beschouwd de basis eigenschappen van, zeg, een lepel in relatie tot de rest van het bestek en de rest van de ruimte? Een ander basisaspect van perceptie is dat wij in staat zijn verschillende visuele scenes te vergelijken en eenzelfde object in deze verschillende scenes te identificeren. Zo kunnen we vaststellen welke feestelijk gedekte tafels 'hetzelfde' zijn. Logica verschaft middelen voor deze taak. We moeten voorzichtig zijn als we het begrip ruimte in een logische theorie vatten en er vervolgens logische hulpmiddelen op loslaten. We kunnen namelijk niet verwachten dat de werkelijke ruimte in al zijn verscheidenheid zonder meer gevat is in onze formele theorie van deze ruimte. Zo zal onze theorie bepaalde natuurlijke, ruimtelijke aspecten niet kunnen behandelen, terwijl daarentegen sommige niet-natuurlijke, ruimtelijke fenomenen een rol zullen spelen. We zijn er echter ook niet op uit een volledige representatie van de ruimte te geven, maar we proberen de meest in het oog springende ruimtelijke fenomen uit te drukken. Onze bijdrage met deze dissertatie is tweeledig. In de eerste plaats onderzoeken wij nieuwe en bestaande ruimtelijke formalismen met het expliciete doel om logica's te identificeren met een redelijke uitdrukkingskracht die tegelijkertijd mooie, meta-logische eigenschapppen bezitten. In de tweede plaats onderzoeken we de haalbaarheid van praktische toepassingen van dit soort kwalitatieve, ruimtelijke logica's. Hiertoe bestuderen we twee symbolische benaderingen van patroonherkenning. Dit proefschrift bestaat uit zeven technische hoofdstukken, een introductie, een afsluitend hoofdstuk en drie appendices. De hoofdstukken 2 tot 5 vormen de theoretische kern van de dissertatie, de hoofdstukken 6 en 7 vormen de praktische component. De eerste twee hoofdstukken geven de grenzen van onze benadering aan: Hoofdstuk 2 geeft aan wat we wel en niet kunnen uitdrukken, Hoofdstuk 3 behandelt welke axioma's we kunnen toestaan. Daarna analyseren we twee soorten uitbreidingen van deze benadering: logische (Hoofdstuk 4) en axiomatische uitbreidingen (Hoofdstuk 5). In Hoofdstuk 2 brengen we de topologische interpretatie van modale logica's opnieuw tot leven door deze op te vatten als een algemene taal voor ruimtelijke patronen. Zo definieren we een notie van bisimulatie voor topologische modellen aan de hand waarvan verschillende visuele scenes kunnen worden vergeleken. De resulterende notie van gelijkheid verfijnen we later door Ehrenfeucht-Fraisse spelen te introduceren die op ruimtelijke structuren kunnen worden gespeeld. In Hoofdstuk 3 onderzoeken we de topologische interpretatie van modale logica in moderne termen, waarbij we gebruik maken van de notie van bisimulatie die we zojuist hebben geintroduceerd. We beschouwen modale logica's met een interessante topologische inhoud en presenteren ondermeer een nieuw bewijs van de volledigheid van S4 ten opzichte van de reeele getallen (eerder bewezen door McKinsey en Tarski) en ook een volledigheidsbewijs van de logica van eindige verenigingen van convexe verzamelingen reeele getallen. In het volgende hoofdstuk beschouwen we logische uitbreidingen van de topologische modale benadering van ruimte. We introduceren universele en hybride modaliteiten en onderzoeken in hoeverre deze bijdragen aan de uitdrukkingskracht. Ook bekijken we een ruimtelijke versie van de tijdslogica van Since en Until. Een beknopte vergelijking met hogere-orde formalismen geeft een algemeen beeld van (uitgebreide) modale, ruimtelijke, logica's. We vervolgen onze modale ruimetelijke onderzoekingen in Hoofdstuk 5 door over te stappen op affine en metrische geometrieen, en op vectoralgebra. Dit levert een nieuwe onderverdeling in ruimtelijke patronen die analogieen suggereren tussen voornoemde wiskundige theorieen in termen van modale logica's, conditionele logica's en tijdslogica's. We onderzoeken de uitdrukkingskracht in termen van het ontwerp van de taal, bisimulaties en correspondentieverschijnselen. We leren verscheidene overeenkomsten tussen de verschillende gebieden, kennen, en stuiten op open vragen. In Hoofdstuk 6 kijken we met andere ogen naar model-vergelijkende spelen teneinde een maat te ontwikkelen waarmee de gelijkenis van beelden bepaald kan worden. Dit soort spelen kunnen namelijk niet alleen gebruikt worden om te beslissen of twee gegeven modellen gelijk zijn, maar ook om een maat op te stellen die de verschillen binnen een klasse van modellen bepaalt. We laten zien hoe dit mogelijk is voor het geval van de ruimtelijke modale logica S4u. Deze benadering geeft ons dus een maat voor ruimtelijke gelijkheid die gebaseerd is op topologische, model-vergelijkende spelen. Als een toepassing geven we een algoritme dat effectief de gelijkheidsmaat berekent voor een klasse van modellen die volop gebruikt wordt in de informatica: polygonen van het reeele vlak. Aan het eind van dit hoofdstuk geven we een overzicht van een geimplemeneerd systeem gebaseerd op onze gelijkheidsmaat. In het laatste hoofdstuk gebruiken we een propositionele taal van kwalitatieve rechthoeken om de leesvolgorde van documenten te achterhalen. Hiertoe definieren we eerst de notie van een 'document-codeer-regel' en analyseren we formalismen die deze regels zouden kunnen uitdrukken, zoals LATEX, SGML talen, etc. Met behulp van deze regel construeren we vervolgens een detector die de leesvolgorde van documenten achterhaalt. De document-codeer-regels die we bij deze constructie gebruiken zijn uitgedrukt in de propositionele taal van rechthoeken. Om te zorgen dat ons systeem de toets aan de realiteit doorstaat, introduceren we de notie van een thick boundary interpretation voor een kwalitatieve relatie. Als we het systeem testen op een collectie van heterogene documenten, zien we een mate van recall van 89%. Tot besluit bevat het proefschrift drie appendices. Appendix A is een kort overzicht van basis topologische noties die gebruikt worden in de Hoofdstukken 2, 3 en 4. Appendix B geeft een algoritme dat gerichte, transitieve, cyclische graven sorteert volgens het syteem uit Hoofdstuk 7. In Appendix C komen drie implementaties aan bod die allen aan dit proefschrift zijn gerelateerd.