Fixed-Point Logics on Trees Amélie Gheerbrant Samenvatting: In dit proefschrift bestuderen we bewijstheoretische en modeltheoretische aspecten van enkele veelgebruikte modale en gekwantificeerde dekpuntlogica’s op bomen. Hoofdstuk 2 behandelt basisprincipes van modale logica, temporele logica, dekpunt logica, en enkele eerste-orde en hogere-orde logica’s over boomstructuren. In hoofdstuk 3 beschouwen we eindige bomen, met labels op knopen, en een ordening op directe opvolgers. We presenteren axiomatisaties van de bijhorende theorieën: monadische tweede-orde logica (MSO), monadische transitieve afsluitingslogica (FO(TC1 )) en de monadische kleinste dekpuntlogica (FO(LFP1 )). Via modeltheoretische technieken tonen we met een uniform argument aan dat deze axiomatisaties volledig zijn. Met andere woorden, elke formule die waar is op alle bomen kan bewezen worden met behulp van de gegeven axioma’s. In hoofdstuk 4 bestuderen we tal van fragmenten en uitbreidingen van propositionele temporele logica (LTL). Deze fragmenten zijn gedefinieerd door ofwel de toegestane temporele operatoren te beperken, ofwel door toevoegen van kleinste dekpuntoperatoren aan de taal. Voor elk van deze fragmenten identificeren we de kleinste uitbreiding die de Craig interpolatie eigenschap heeft. We doen dit met techieken uit de abstracte modeltheorie. Afhankelijk van de toegelaten temporele operatoren verkrijgen we op deze manier drie logica’s: het fragment van LTL met slechts de "Next" operator, de uitbreiding van LTL met een kleinste dekpuntoperator µ (beter bekend als de lineaire-tijd µ-calculus), en tenslotte µTL, de uitbreiding met een kleinste dekpuntoperator van het fragment van LTL dat slechts de "Until" operator bevat. In hoofdstuk 5 concentreren we ons vervolgens op de logica µTL(U). Dit fragment werd in het vorige hoofdstuk geïdentificeerd als het stotter-invariante fragment van de lineare-tijd µ-calculus µTL. Daarenboven was dit fragment één van de drie temporele fragmenten van µTL die aan de Craig interpolatie eigenschap voldoet. Hoewel een volledige axiomatisatie voor de twee andere fragmenten reeds bekend is, is dit niet het geval voor µTL(U). Daarom geven we volledige axiomatisaties voor µTL(U) op zowel de klasse van eindige woorden als de klasse van ω-woorden. Hiertoe introduceren we een nieuwe temporele logica, µTL(♦_Γ), een variant van µTL waarin de "Next" operator vervangen is door de corresponderende familie van stotter-invariante operatoren. Deze logica heeft dezelfde uitdrukkingskracht als µTL(U). Gebruikmakende van reeds bekende resultaten over µTL, tonen we eerst de volledigheid aan van µTL(♦_Γ), waaruit dan de vo! lledigheid van µTL(U) wordt verkregen. Tenslotte brengen we in hoofdstuk 6 onze analysemethoden, gebruikmakend van modale en temporele dekpuntlogica’s, over naar de speltheorie. De huidige oplossingsmethoden voor spelen bevatten een vorm van "procedurele rationaliteit" en deze vraagt om een logische analyse op zichzelf. Meer in het bijzonder bestudeert dit hoofdstuk de speciale casus van "Terugwaartse Inductie" voor extensieve spelen. We analyzeren een aantal recente versies van dit algoritme in termen van kennis en geloofsherziening in logica’s die tevens voorkeuren van spelers kunnen beschrijven. We tonen aan dat elk van deze analyses wiskundig equivalent is vanuit het oogpunt van dekpuntlogica’s op bomen. We generaliseren het aldus ontstane perspectief op spelen tot een exploratie van dekpuntlogica’s op eindige bomen die het best passen bij speltheoretische evenwichtsbegrippen. We besluiten het hoofdstuk met een meer algemeen onderzoeksprogramma dat ten doel heeft een synthese te vormen tussen! computationele logica’s en speltheorie.