Nonstandard Provability for Peano Arithmetic. A Modal Perspective Paula Henk Samenvatting: Dit proefschrift behelst een studie van niet-standaard bewijsbaarheidspredikaten voor de Peano-Rekenkunde (PA). Onder een niet-standaard bewijsbaarheidspredikaat verstaan we een bewijsbaarheidspredikaat van een theorie die samenvalt met PA vanuit extern standpunt, maar niet op een wijze die verifieerbaar is in PA. Ons perspectief wordt vormgegeven door de modale logica: het doel is te bepalen welke modale principes het gedrag van onze niet-standaard bewijsbaarheidspredikaten in PA beschrijven. Hoofdstuk 3 behandelt de bimodale bewijsbaarheidslogica GLT. We laten zien dat GLT zonder dat het de eindige model eigenschap heeft beslisbaar is, en volledig met betrekking tot diverse natuurlijke klassen Kripke-frames. We geven een karakterisering van het gesloten fragment van GLT, en tonen de aritmetische volledigheid aan met betrekking tot een ruime klasse van bewijsbaarheidspredikaten. Hoofdstuk 4 gaat over theorieën die verkregen zijn uit PA door het versnellen of vertragen van gewone bewijsbaarheid. We laten zien dat GLT aritmetisch volledig is met betrekking tot een ruime klasse van bewijsbaarheidspredikaten, waaronder zowel gewone en snelle als langzame en gewone bewijsbaarheid. Hoofdstuk 5 bestudeert zogenaamde supremum-adapters. Deze bewijsbaarheidspredikaten worden gebruikt bij het verkrijgen van interpreteerbaarheidssuprema van enkele uitbreidingen van PA. We bespreken eerst de methodologische problemen die het verrijken van de interpreteerbaarheidslogica ILM van PA met supremum-operatoren met zich meebrengt. De supremum-adapters verschaffen een passende oplossing voor die vraagstukken. We stellen een aantal modale principes vast van deze operatoren, en bestuderen het gedrag van transfiniete iteraties ervan. In Hoofdstuk 6 wordt aangetoond dat de bewijsbaarheidslogica van een bepaalde supremum-adapter de Gödel-Löb bewijsbaarheidslogica GL is. Tenslotte, in Hoofdstuk 7, leggen we een aantal verbanden tussen de supremum-adapters en de langzame bewijsbaarheidspredikaten.