Quantum logics for expressing and proving the correctness of quantum programs Jort Bergfeld Samenvatting In de eerste helft van de twintigste eeuw ontdekten natuurkundigen dat de allerkleinste deeltjes van ons universum de klassieke wetten van Newton niet respecteren, in plaats daarvan volgen ze de wetten die nu bekend staan als de quantum mechanica. Quantum mechanica heeft een enorme invloed gehad op informatie theorie: het toepassen van de nieuwe technieken uit de quantum mechanica heeft geleid tot nieuwe communicatie protocollen die eigenschappen bezitten waarvan men denkt dat ze met klassieke computer technieken onmogelijk zijn. Ook bestaan er quantum computer algoritmes die bewezen sneller zijn dan hun klassieke tegenhangers. Net zoals logica een fundamentele rol speelt voor klassieke informatie theorie, zal de quantum logica een rol gaan spelen voor quantum informatie theorie. De rol van logica zal belangrijk worden bij het ontwerpen van computer algoritmes, zeker bij het specificiëren en verifiëren. Dit proefschrift concentreert zich op het verband tussen quantum logica en quantum informatie theorie en brengt resultaten in de volgende vier thema's. Algebraïsche en ruimtelijke structuren relateren. In Hoofdstuk 3 bestuderen we een dualiteit tussen twee verschillende quantum structuren: Píron tralies en dynamische quantum modellen. Beide zijn abstracties van Hilbert ruimtes, een van de standaard modellen voor het representeren van een quantum systeem. Beide structuren benadrukken andere eigenschappen van een quantum systeem en door ze te verbinden via een dualiteit kunnen we laten zien hoe deze eigenschappen gerelateerd zijn aan elkander. Píron tralies geven een algebraïsch perspectief op een Hilbert ruimte en de focus ligt met name op de testbare eigenschappen van een fysiek quantum systeem. De definitie van een Píron tralie legt zulke beperkingen op een standaard tralie dat het precies de structuur van een algemene Hilbert ruimte representeert. Een Píron tralie die daarnaast ook voldoet aan Mayet's conditie, representeert een oneindig dimensionale Hilbert ruimte over de complexe getallen, de reële getallen of de quaternionen. Dynamische quantum modellen zijn een vorm van gemerkte transitie systemen en geven een dynamisch perspectief op fysieke quantum systemen. Om een volledige categorische structuur te creëren, koppelen we zowel Píron tralies als dynamische quantum modellen aan twee verschillende type morfismen. Het eerste type is geïntroduceerd door Moore voor zwakkere structuren die een aantal quantum eigenschappen, zoals superpositie, niet representeren. Het tweede type door onszelf geïntroduceerd is een sterkere variant die meer structuur behoudt. Ons dualiteitsresultaat in Hoofdstuk 3 laat zien dat de categorieën van Píron tralies en dynamisch quantum modellen in essentie hetzelfde zijn (met uitzondering van de richting van de morfismen). We laten tevens zien dat de dualiteit beperkt kan worden tot objecten die voldoen Mayet's condities. Aangezien het al aangetoond is dat Píron tralies equivalent zijn met Hilbert ruimtes, laat dit resultaat ook de sterke relatie zien tussen dynamische quantum modellen en Hilbert ruimtes. Zowel Píron tralies als dynamische quantum structuren zijn belangrijke structuren in de quantum logica, en ons dualiteitsresultaat laat nieuw licht schijnen op het wiskundige verband tussen deze twee structuren. Het ontwerpen van hybride en probabilistiche quantum logica's. In dit proefschrift introduceren we twee nieuwe logische systemen: Quantum Hybride Logica (QHL) en Probabilistische Logica voor Quantum Programma's (PLQP). In Hoofdstuk 4 introduceren we quantum hybride logica (QHL). Dit betekent dat we naast de ``standaard'' quantum modale operatoren zoals negatie (¬), doorsnede (∧) en orthogonaliteit (☐), we een extra verzameling propositie letters hebben, de nominalen, speciaal voor het benoemen van een enkel punt (of atoom) in ons model. De syntax van deze nieuwe logica is in feite exact hetzelfde als de standaard hybride logica (met een hier-pijl operator), maar het deductief systeem wordt uitgebreid met vier nieuwe axioma's die de eigenschappen van de door Zhong geïntroduceerde quantum Kripke modellen representeren. Voor het volledigheidsresultaat moet dat model nog uitgebreid worden met een nieuwe eigenschap, die er voor zorgt dat het model een eindige dimensie heeft. Deze nieuwe eigenschap zorgt er tevens voor dat de QHL het concept van een basis kan uitdrukken. We laten zien dat de taal de standaard eigenschappen van de quantum logica kan uitdrukken, zoals het orthogonale complement en de quantum vereniging. Aangezien quantum Kripke modellen equivalent zijn aan dynamische quantum modellen, kunnen we deze taal beschouwen als een uitbreiding op de Logica voor Quantum Acties (LQA), die door Baltag en Smets is geïntroduceerd. En inderdaad laten we in Hoofdstuk 4 zien dat alle operatoren van deze logica uitdrukbaar zijn in QHL. De nieuwe logische systemen voor quantum redeneren die worden geïntroduceerd in Hoofdstuk 5 en Hoofdstuk 6 komen tot stand door de al bestaande systemen voor quantum logica, modale logica en probabilistische logica te combineren. Dit geeft ons een probablistische uitbreiding van de al bestaande Logica van Quantum Programma's (LQP). De taal bevat dynamische modaliteiten [π] voor quantum programma's π en epistemische modaliteiten K_I voor het uitdrukken van de informatie die beschikbaar is voor het subsysteem I. Naast de dynamische en epistemische modaliteiten, voegen we probabilistische modaliteiten toe, die de kans uitdrukt dat een gegeven test (van een quantum testbare eigenschap) zal slagen. Dit is een nieuwe aanvulling op de al bestaande logica's die de uitdrukbaarheid van de logica enorm uitbreidt. Hierdoor wordt deze formele taal geschikt voor het verifiëren van probabilistische quantum algoritmes. In Hoofdstuk 5 drukken we de correctheid uit van het BB84 quantum sleutel protocol en van het quantum leiderverkiezingsprotocol. In Hoofdstuk 6 drukken we de correctheid van Grover's zoekalgoritme uit. Het axiomatiseren van quantum logica's (QHL en PLQP). In Hoofdstuk 4, geven we een correctheids- en volledigheidsresultaat voor de quantum hybride logica die hierboven beschreven is in de context van quantum Kripke modellen met een dimensie van ten hoogste n. Aangezien de taal zeer veel lijkt op standaard hybride logica, bouwen we verder op een volledigheidsresultaat dat al bestaat voor een grote groep hybride logica's. We laten zien dat een deel van onze quantum hybride logice binnen deze groep valt, terwijl een ander deel extra werk vereist om volledigheid te bewijzen. We laten zien dat drie van de vier nieuwe axioma's een model eigenschap definiëren. Dat wil zeggen, het model bezit een bepaalde eigenschap dan en slechts dan als het model het axioma valideert. In Hoofdstuk 5 leggen we een fundering voor een axiomatisering van de hierboven beschreven probabilistische logica voor quantum programma's (PLQP). We laten zien dat ons nieuwe bewijssysteem correct is. We bewijzen een lange {lijst} van lemma's met basis (en minder basis) eigenschappen van quantum theorie, zoals onder andere eigenschappen van het orthogonale complement, de quantum vereniging en een orthogonale basis. Het bewijssysteem samen met deze lange lijst van lemma's gebruiken we vervolgens om de correctheid van het quantum leiderverkiezingsprotocol en het BB84 quantum sleutel distributie protocol te bewijzen. Deze twee protocollen zijn bedoeld als voorbeeld wat met ons system bewezen kan worden, maar we zijn er zeker van dat er meer mogelijk is. Deze logica is enkel bedoeld als eerste stap en vraagt om verder onderzoek naar in het bijzonder probabilistische quantum logica's. Beslisbaarheid voor een groep van op Hilbert ruimte gebaseerde quantum logica's. In het laatste deel van dit proefschrift laten we zien dat een grote groep op Hilbert ruimte gebaseerde quantum logica's, waaronder de hierboven beschreven Probabilistische Logica voor Quantum Programma's (PLQP), beslisbaar is. Een beslisbaarheidsbewijs voor een logica bestaat in essentie uit het laten zien dat er een effective procedure bestaat om the controleren of een formule valide (of vervulbaar) is of niet. We laten een algemene methode zien voor het bewijzen van beslisbaarheid voor een groot aantal quantum logica's, waaronder de logica in Hoofdstuk 6. Het idee achter deze methode komt van het werk van Dunn et. al. Zij vertaalde standaard quantum logica over eindig dimensionale ruimtes naar eerste order theorie van reële getallen, die beslibaar is vanwege Tarski's beroemde stelling. We breiden deze methode uit naar een veel grotere groep van quantum logica's, door een inductieve methode te introduceren die checkt of er voor een taal een effectieve vertaling bestaat naar de eerste order theorie van de reële getallen. Simpel gezegd, als een propositionele of atomistische formule effectief vertaald kan worden, en elke n-voudige operator behoud deze effectieve vertaling, dan is de taal als geheel beslisbaar. Deze methode passen we toe op PLQP en daarmee laten we zien dat deze beslisbaar is.