Quantum multivariate estimation and span program algorithms
Arjan Cornelissen

Samenvatting:

Gedurende de afgelopen halve eeuw heeft de opkomst van de computer ons vermogen om berekeningen uit te voeren flink vergroot. Daardoor kunnen we nu computationele problemen op een veel efficiëntere manier oplossen dan ooit tevoren. De effecten hiervan hebben de maatschappij in vele opzichten revolutionair veranderd, van de manier waarop de overheid de belastingen bijhoudt, tot de manier waarop we naar onze bestemming navigeren aan toe.
Echter, gedurende het afgelopen decennium is het steeds duidelijker geworden dat de ontwikkeling van conventionele rekenhardware tegen zijn natuurkundige limitaties aanloopt. In een poging deze barrière te overwinnen hebben verschillende onderzoeksgebieden zich gefocust op het heroverwegen van de natuurkundige principes, gebaseerd waarop wij onze berekeningen uitvoeren. Quantum computing is daarbij als één van de meest veelbelovende van deze gebieden uit de bus gekomen, en heeft daardoor gedurende de afgelopen twintig jaar een explosieve toename in interesse meegemaakt.
Quantum computing omvat kortgezegd het idee om berekeningen uit te voeren op basis van de principes van kwantummechanica, en dus beschrijft het een rekenmodel dat fundamenteel anders is dan zijn conventionele tegenhanger. De centrale vraag die we in dit proefschrift behandelen is hoe krachtig dit nieuwe rekenmodel is, d.w.z., we beschouwen computationele problemen en bepalen hoe efficiënt zij door een kwantumcomputer opgelost kunnen worden. Vaak vergelijken we daarbij onze resultaten met die uit de conventionele context, om zodoende in te schatten hoe groot het computationele voordeel is dat kwantumcomputers op theoretisch niveau kunnen bieden.
Dit proefschrift is opgedeeld in twee delen. In Deel I ontwikkelen we kwantumalgoritmen die schattingsproblemen oplossen. Specifiek onderzoeken we drie aparte problemen, namelijk gemiddeldeschatting (Engels: mean estimation), toestandstomografie (Engels: state tomography), en partitiefunctieschatting (Engels: partition function estimation). Voor de eerste twee problemen generaliseren we onze bevindingen naar de multivariate context, en we voegen bewijzen van bijpassende ondergrensen aan onze resultaten toe, waarmee we een preciese karakterisatie van de computationele complexiteit in de kwantumcontext bereiken. Verrassend genoeg concluderen we dat voor het gemiddeldebepalingsprobleem, kwantumcomputers een computationeel voordeel bieden dan en slechts dan als het aantal kwantumrealisaties dat we gebruiken groter is dan de dimensie van het te schatten object.
In Deel II onderzoeken we het opspanningsprogrammaformalisme (Engels: span program formalism), wat een raamwerk voor het ontwikkelen van kwantumalgoritmen is. We geven een op zichzelf staand overzicht van het formalisme, waarbij we de nadruk leggen op visuele en intuı̈tieve interpretaties van de relevante objecten. We laten zien hoe het raamwerk zich tot de tegenstandergrens (Engels: adversary bound ) verhoudt, en versimpelen de uiteenzetting t.o.v. eerdere werken. Bovendien komen we uit op drie nieuwe resultaten. Ten eerste laten we zien hoe het raamwerk gebruikt kan worden om klassieke beslisbomen (Engels: decision trees) in kwantumalgoritmen om te zetten. Ten tweede verbeteren we het best bekende algoritme dat benaderingsopspanningsprogramma’s (Engels: approximate span programs) evalueert. Tot slot laten we zien dat kwantumalgoritmen van een bepaald type corresponderen met opspanningsprogramma’s (Engels: span programs) die de tijdsefficiëntie behouden.