Model Theory of Fields: Decidability and Bounds for Polynomial Ideals
Lou van den Dries

Een favoriete bezigheid van wiskundigen is altijd geweest het oplossen van vergelijkingen, dit 'oplossen' op te vatten in ruime zin.
Tot in de 20e eeuw lag hierbij de nadruk op het vinden van directe, algoritmische methoden, die overigens altijd van het grootste belang zullen zijn.
Beschouw nu bijvoorbeeld een vergelijking
 (*) f(x1, .., xn) = 0 (f een veelterm met rationale coéfficiénten), waarbij de oplossingen in rationale getallen gevraagd worden, een zgn. Diophantische vengelijgkáng.
Voor zelfs vrij eenvoudige Diophantische vergelijkingen bleken algoritmische oplossingsmethoden niet beschikbaar te komen, of weinig inzicht te verschaffen. Om nu toch de gewenste informatie over de oplossingen te verkrijgen, ging men bijvoorbeeld de oplossingen van (*) in de p-adische lichamen Qp en in het lichaam R der reéle getallen bestuderen. Dit procédé, genaamd lokaliseren en completeren, blijkt erg nuttig, vooral ook op het verwante gebied der algebraïsche meetkunde (zie b.v. de 'Introduction' van [Bo2]).
Men kan zelfs met voordeel het oplossen in alle Qp en in R vervangen door het oplossen in één ring, de ring A der adéles, die Q als deelring heeft. Nu is A voor arithmetische doeleinden zo bijzonder geschikt gebleken vanwege zijn topologische eigenschappen. Deze geschiktheid is onlangs nog eens bevestigd door zijn modeltheoretische eigenschappen: er is een effectieve methode om van een gegeven 'elementaire' uitspraak over ringen na te gaan of deze waar is voor A, i.h.b. kan men van een vergelijking (*) bepalen of er oplossingen in A zijn, of er oneindig veel zijn, enz. Dit resultaat (Weispfenning, nog ongepubliceerd) kan men beschouwen als een samenvatting van eerder werk door A. Tarski, A. Robinson, J. Ax, S. Kochen, Ju. Erdov en P.J. Cohen.

Nu is het belang van A voor Diophantische vergelijkingen sterk afhankelijk van: welke eigenschappen van Q worden in A weerspiegeld? Men kan b.v. zeggen dat sommige 'kwadratische' eigenschappen van Q in A goed teruggevonden kunnen worden (Hasse-Minkowski). Maar Q heeft geen nuldelers en A wel. O.a. deze overwegingen hebben mij er toe gebracht om de modeltheoretische aspecten te bestuderen van de lichamen die in de hoofdstukken II en III aan de orde komen. Typisch voorbeeld: beschouw de objecten (K,<,v1, v2) met K een lichaam, < een lineaire ordening op K, v1: K* -> Z een p-adische waardering, d.w.z. v1(p) = 1 en K_v1 = F_p, en v2: K* -> Z een q-adische waardering (p en q gegeven priemgetallen).
Voor de 'existentieel afgesloten' objecten in deze categorie blijkt inderdaad een resultaat te gelden als boven voor A beschreven is (zie Ch. III, (3.1)). Mijn hoop is dat deze existentieel afgesloten objecten de structuur van Q beter behouden dan de ring RxQpxQq.

Hoofdstuk IV is van een ander karakter: hierin worden enkele problemen opgelost die door A. Robinson zijn gesuggereerd, zie [Rob4, problem 3].