On Quantum Algorithms and Limitations for Convex Optimization and Lattice Problems
Yanlin Chen 

Optimalisatie is het proces waarbij de beste optie uit alle mogelijkheden wordt geselecteerd, en problemen die te maken hebben met het vinden van de beste optie uit vele opties worden optimalisatieproblemen genoemd. Enkele voorbeelden van dergelijke problemen zijn routekeuze, gedeeltelijke belading, roosterplanning en portefeuille-optimalisatie. Deze problemen komen veel voor in de maatschappij en in ons dagelijks leven.

De meeste optimalisatieproblemen kunnen worden opgelost door alle mogelijkheden op te sommen en vervolgens de beste te selecteren, maar wij streven ernaar een systematische strategie te vinden (een algoritme) die de optimale oplossing in de kortst mogelijke tijd vindt, aangezien brute-force zoeken vaak te tijdrovend is. Met andere woorden, we willen optimale algoritmen vinden voor het vinden van optimale oplossingen.

Kwantumfysica biedt in veel gevallen een nauwkeurigere verklaring en voorspelling van de natuurlijke fenomenen dan de klassieke fysica. Daarom heeft een kwantumcomputer het potentieel om krachtiger en nuttiger te zijn dan een klassieke computer voor het oplossen van optimalisatieproblemen, hoewel het nog steeds een actief onderzoeksgebied is om uit te zoeken hoe groot dat voordeel is. Het ontwerpen van algoritmen voor een kwantumcomputer vereist fundamenteel andere ideeën en concepten dan voor een klassieke computer.

In dit proefschrift onderzoeken we het gebruik van kwantumcomputers bij het oplossen van verschillende fundamentele optimalisatieproblemen. We richten ons specifiek op het oplossen van lineaire regressie, het vinden van de belangrijkste eigenvectoren van een matrix, en het vinden van de kortste niet-nul vector van een lattice. Meer in het bijzonder bieden we bijna-optimale kwantum algoritmen die asymptotisch beter zijn dan de best mogelijke klassieke algoritmen voor lineaire regressie met $\ell_1$-normbeperking (ook bekend als Lasso) en voor het benaderen van de belangrijkste eigenvectoren van een matrix. Onze algoritmen  voor het vinden van de kortste niet-nul vector van een lattice zijn asymptotisch beter dan de best bekende klassieke algoritmes.

Aan de andere kant zijn er enkele problemen waarvoor geen nuttig computationeel voordeel mogelijk is, zelfs niet wanneer we kwantumcomputers gebruiken. Deze situatie kan soms voordelig zijn als we niet willen dat kwantumcomputers specifieke bepaalde problemen snel kunnen oplossen - bijvoorbeeld problemen die relevant zijn voor post-kwantum cryptografie. In zo'n situatie willen we bewijs voor de moeilijkheid van het oplossen van deze problemen op een kwantumcomputer. Om deze reden stellen we varianten van Booleaanse vervulbaarheidsproblemen voor waarvan wordt aangenomen dat ze niet efficiënter kunnen worden opgelost door een kwantumcomputer, en gebruiken we deze (vermoede) kwantum ondergrenzen via reducties om de kwantumbeperkingen van enkele populaire optimalisatieproblemen te bestuderen, zoals lattice problemen, kwantum sterke-simulatie en problemen over hitting sets.