A Method in Proofs of Undefinability
Karel Louis de Bouvère

In een recente lezing „Over waarheid in de wiskunde’’ wees A. Heyting op de drie voornaamste componenten der klassieke wiskunde. Het is bekend hoe één ervan, de intuitieve component, is geisoleerd door L. E. J. Brouwer, die de grondslagen heeft gelegd van de intuitionistische wiskunde. Heyting zelf is toonaangevend geweest in de verdere ontwikkeling van het intuitionisme en het is vooral te danken aan zijn bijdragen, zowel op het gebied van onderzoek als van onderwijs, dat de eervolle band is bestendigd tussen de intuitionistische wiskunde en het Mathematisch Instituut der Universiteit van Amsterdam. Geenszins echter heeft deze verdienste aanleiding gegeven tot eenzijdigheid in het grondslagen-onderwijs aan dit instituut. In dezelfde lezing vermeldde Heyting een andere component der klassieke wiskunde, die elders is uitgegroeid tot de semantiek, en hij wees op belangrijke en interessante resultaten uit dit gezichtspunt verkregen. In het mathematisch en logisch onderwijs der Universiteit heeft meer in het bijzonder EK. W. Beth deze tak van wetenschap ingevoerd. Het Instituut voor Grondslagenonderzoek heeft daarenboven dit gehele terrein gemakkelijker toegankelijk gemaakt.
Dit proefschrift is een voorbeeld van een semantische methode in de theorie  der  definitie.  Met  de methode,  die hier wordt  ontwikkeld, kan in bepaalde omstandigheden de onafhankelijkheid worden bewezen ener niet-logische constante van andere niet-logische constanten met betrekking tot een gegeven theorie. Deze onafhankelijkheid betekent, dat in het bestek der gegeven theorie de beschouwde constante niet expliciet kan worden gedefinieerd met behulp der andere voorkomende constanten. Tot nu toe had men voor dit soort bewijzen de beschikking over de methode van A. Padoa, daterend uit 1900. A. Tarski gaf in 1934 een theoretische fundering van deze methode, terwijl Beth in 1953 bewees, dat de methode algemeen is, dat wil zeggen: indien (onder bepaalde voorwaarden) met betrekking tot een theorie een niet-logische constante onafhankelijk is van de andere voorkomende niet-logische constanten, dan kan dit worden bewezen met behulp der methode van Padoa. Dat er desondanks ruimte is voor een nieuwe methode, wordt aan de ene kant gerechtvaardigd door theoretische overwegingen, welke een dubbel aspect aanwijzen, en aan de andere kant door de praktijk, waarin het niet altijd mogelijk is gebleken voor bepaalde onafhankelijkheden de geschikte toepassing van Padoa’s methode rechtstreeks aan te geven.
In hoofdstuk I wordt het begrip expliciet defimieerbaar gekarakteriseerd op model-theoretische wijze. Zowel de methode van Padoa als de stelling van Beth spelen een rol by deze karakterisering. Bovendien wordt er onderscheid gemaakt tussen ondefinieerbaar en essentieel ondefinieerbaar. Laatstgenoemde term betekent, dat een constante niet op expliciete wijze definieerbaar is, niet alleen met betrekking tot de beschouwde theorie zelf, maar evenzeer met betrekking tot iedere consistente uitbreiding van deze theorie, die dezelfde constanten bevat.
De model-theoretische karakterisering behelst twee methoden om ondefinieerbaarheid te bewijzen: de methode van Padoa en de methode ontwikkeld in hoofdstuk II. Laatstgenoemde geeft aanleiding tot een indirect gebruik, dat analoog is met Tarski’s indirecte methode in bewijzen van onbeslisbaarheid. Onder bepaalde voorwaarden stelt de methode ons namelijk in staat vast te stellen, dat een constante essentieel ondefinieerbaar is met betrekking tot een bepaalde, bijvoorbeeld eindig axiomatiseerbare, subtheorie der theorie, waarom het gaat. Hieruit volgt dan, dat de ondefinieerbaarheid zich ook uitstrekt met betrekking tot deze theorie zelf,
In hoofdstuk III wordt deze methode toegepast op enkele rekenkundige functies. De methode stelt ons bijvoorbeeld in staat vast te stellen, dat vermenigvuldiging essentieel niet op expliciete wijze kan worden gedefinieerd met behulp van eenheid en optelling met betrekking tot een eindig axiomatiseerbare subtheorie der geformaliseerde rekenkunde der natuurlijke getallen. Hieruit volgt dan, dat vermenigvuldiging niet expliciet kan worden gedefinieerd met behulp van eenheid en optelling met betrekking tot de geformaliseerde rekenkunde zelf. Dit feit was uit andere hoofde reeds bekend: de theorie met vermenigvuldiging is onbeslisbaar, terwijl de theorie met alleen optelling en eenheid beslisbaar is. Maar het pleit voor de bruikbaarheid van de methode, dat zij ons in staat stelt het bewijs rechtstreeks te leveren.
In hoofdstuk IV wordt teruggegrepen op een andere distinctie, welke in hoofdstuk I is gemaakt, namelijk die tussen expliciete definieerbaarheid en defimeerbaarheid op grond ener gelyjkheid. Deze distinctie geldt uitsluitend individuele en operationele constanten. Definieerbaarheid op grond van een gelijkheid betreft een definitie bestaande uit twee termen gescheiden door het gelijkteken. Nu is door een resultaat van K. Gödel bekend, dat bijvoorbeeld de hogere functies in de reeks van W. Ackermann arithmetisch zijn, dit wil zeggen expliciet kunnen worden gedefinieerd met behulp van optelling en vermenigvuldiging. Van de andere kant is een definitie door gelijkheid niet mogelijk. Wij passen de methode van hoofdstuk II toe op deze functies om hun expliciete ondefinieerbaarheid te bewijzen met betrekking tot bepaalde subtheorieën der rekenkunde. Deze toepassing blijkt tegelijk een methode op te leveren om de onmogelijkheid van een definitie door gelijkheid te bewijzen met betrekking tot de gehele geformaliseerde rekenkunde.
Het onderzoek is in dit proefschrift beperkt tot theorieën met standaard-formalisering. Dit zijn theorieën geformaliseerd binnen het bestek der logica van de eerste orde met identiteit. Uitbreiding tot andere logische systemen lijkt zeker mogelijk.