In het inleidende hoofdstuk 1 geven we eerst informeel aan, wat we onder meerdimensionale modale logica’s verstaan: een α-dimensionale modale logica, voor een ordinaalgetal α, is een modaal formalisme, waarbij we, binnen de algemene semantiek der Kripke frames, *bedoelde frames* onderscheiden waar het universum bestaat uit α-tupels over een onderliggende verzameling. Dergelijke frames dopen we *kubussen* (*vierkanten* in het tweedimensionale geval).
Hoofdstuk 1 noemt ook de vragen, die in dit proefschrift aan de orde komen: de expressieve kracht van meerdimensionale modale formalismes, de talige karakterizeerbaarheid van de kubussen, en de axiomatizeerbaarheid van de formules die geldig zijn in deze bedoelde frames. Verder introduceren we de belangrijkste onderstromen van de dissertatie: uitgebreide correspondentietheorie, bijzondere modale afleidingsregels en verbanden met algebraische en temporele logica.

In het tweede hoofdstuk wordt, betreffende axiomatische volledigheid, een meta-stelling bewezen, die in alle andere hoofdstukken van het proefschrift toegepast wordt. De centrale notie vormt hier de niet-ξ afleidingsregel, een generalizatie van Gabbays irreflexiviteitsregel. De bovengenoemde SNΞ-stelling is een aanvulling op de stelling van Sahlqvist, in de zin dat ze voor systemen bestaande uit Sahlqvist axioma’s en niet-ξ afleidingsregels, automatisch sterke volledigheid geeft voor een klasse van frames die gekarakteriseerd wordt door de axioma’s en de afleidingsregels. Een belangrijke randvoorwaarde is, dat het modale similariteitstype versatiel is en de D-operator bevat (of de betreffende operatoren kan definiéren over de te axiomatizeren klasse van frames. In het bewijs van de volledigheidsstelling passen we de traditionele canonieke-framemethode an; we geven een alternatieve versie van canonieke structuren en bewijzen een nieuw persistentie resultaat voor Sahlqvist formules.

Hoofdstuk 3 is gewijd aan tweedimensionale modale logica’s. Na een zo volledig mogelijk overzicht van wat de literatuur op dit terrein te bieden heeft, bedden we de meeste bestaande formalismes in één overkoepelend twedimensionaal systeem in.
Daarna worden drie specifieke formalismes in detail behandeld. Eerst twee-dimensionale cylindrische modale logica, waarvoor we een relatief eenvoudig volledigheidsbewijs geven. De meeste aandacht gaat uit naar CCδ, een modale logica voor binaire relaties. Voor dit formalisme vinden we een expressief equivalent fragment van de eerste orde logica (het ‘drie-variabelen fragment’), we geven een precieze karakterizering van de vierkante CCδ­frames, en tenslotte vormen we deze karakterizering om tot een volledige axiomatizering voor de vierkanten.
Het derde behandelde formalisme is een uitbreiding van CCδ met een temporele component; voor dit systeem kunnen we onder andere een functioneel volledigheidsbewijs geven, over de klasse van lineaire tijdsordes.
Het modale perspectief levert de volgende resultaten op voor algebra’s van binaire relaties: een vereenvoudiging van Henkin’s gelijkheid in cylindrische algebra’s, en een eindig afleidingssysteem voor de equationele theorie der representeerbare relatie-algebra’s

Het vierde hoofdstuk laat zien hoe we, geinspireerd door de overeenkomsten tussen kwantoren en modale operatoren, de eerste orde logica, of een enigzins ingeperkte versie daarvan, kunnen bestuderen als ware het een modaal formalisme, de cylindrische modale logica. Deze aanpak is zeer nauw verwant aan de algebraische theorie van de predicatenlogica: cylindrische algebras treden op als modale algebras van ons meerdimensionale formalisme.
Net als in hoofdstuk 3 karakterizeren we de bedoelde frames in termen van Sahlqvist axioma’s en niet-ξ regels, en aldus vinden we, eerst voor het eindig-dimensionale geval, een eindig, sterk correct en volledig afleidingssysteem voor de cylindrische modale formules die geldig zijn in deze kubussen. Uitgaande hiervan kunnen we soortgelijke afleidingsstelsels geven voor onder andere oneindig-dimensionale cylindrische modale logica, type-vrij geldige formules, en de equationele theorie van de representeerbare cylindrische algebras.
We geven een voorbeeld van een afleiding voor een formule waarbij een nieuwe niet-ξ afleidingsregel daadwerkelijk gebruikt wordt, en waarvoor dit gebruik ook noodzakelijk is.

In hoofdstuk 5 wordt de modale tijdslogica van intervallen benaderd op de wijze van tweedimensionale modale logica’s. We geven eerst een inleiding betreffende tijdslogica’s waar periodes in plaats van punten centraal staan, en we motiveren bovengenoemde benadering, die gebaseerd is op het idee, dat we een interval kunnen identificeren met het paar bestaande uit het begin- en het eindpunt van dit interval.
Een specifiek systeem (HS), dat ontworpen is door Halpern en Shoham, wordt daarna onder de loep genomen, tesamen met enkele uitbreidingen en inperkingen. We bewijzen verscheidene resultaten betreffende expressiviteit en volledigheid van deze formalismes.

Hoofdstuk 6 bevat onze conclusies: ten eerste menen we met de SNΞ-stelling uit het eerste hoofdstuk een elegante methode te hebben gevonden, om een deels positieve (de axioma’s), deels negatieve (de niet-ξ regels) karakterizering van een klasse van frames om te zetten in een *axiomatizering*. Ten tweede zien we deze niet-ξ regels, en ook de gewone Sahlqvist-stelling, als een nuttige bijdrage van het mogelijke-wereldenperspectief uit de modale logica aan de theorie der Boolese algebra’s met operatoren. Verder is het opvallend, dat sommige inperkingen op de semantiek van meerdimensionale tijdslogica’s, inperkingen die geinspireerd zijn door mogelijke toepassingen binnen bijvoorbeeld de informatica, systemen opleveren met logisch aantrekkelijke eigenschappen als functionele volledigheid en orthodoxe axiomatizeerbaarheid.

Ten slotte heeft deze dissertatie twee appendices: in appendix A sommen we de noties en resultaten op die we als basiskennis veronderstellen bij de lezer. In appendix B motiveren we onze definitie van de semantische-gevolg relatie: we bewijzen dat alleen in ons ‘locale perspectief’ de niet-eindige axiomatizeerbaarheidsresultaten uit de algebraische logica omzeild kunnen worden door bijzondere afleidingsregels te gebruiken.