Modal Correspondence Theory
Johan van Benthem

De modale korrespondentietheorie bestudeert het verband tussen modale formules en formules van klassieke logische systemen, beide beschouwd als middel om eigenschappen van relaties uit te drukken. De twee belangrijkste vragen die in dit proefschrift worden behandeld zijn: welke modale formules zijn in de eerste-orde logika definieerbaar en welke eerste-orde formules zijn definieerbaar door middel van modale formules? Met betrekking tot de eerste vraag wordt er aangetoond dat een modale formule juist dan eerste­orde definieerbaar is als hij bewaard blijft onder ultramachten. Bovendien worden er twee methoden ontwikkeld, waarvan de ene (die gebruik maakt van eerste-orde substituties voor universele tweede-orde kwantoren) konstruktief bewijst dat modale formules die aan bepaalde syntaktische kondities voldoen eerste-orde definieerbaar zijn, terwiji de tweede (die berust op de Löwenheim-Skolem stelling) aantoont dat bepaalde modale formules juist niet eerste-orde definieerbaar zijn. Voor het speciale geval van de "modale reduktieprincipes", een klasse van formules waartoe de meeste bekende modale axioma's behoren, geven deze twee methoden samen een volledig, syntaktisch antwoord op de eerste vraag. Met betrekking tot de tweede vraag is er een stelling van R.I. Goldblatt en S.K. Thomason over \Sigma\Delta-elementaire klassen van relationele strukturen, die de modaal definieerbare daaronder karakteriseert met behuip van afgeslotenheid onder een viertal algebraische bewerkingen. Er wordt een nieuw bewijs van dit resultaat gegeven, alsmede een aantal preservatieresultaten voor de vier vermelde algebraische bewerkingen. Uit deze preservatieresultaten valt af te leiden dat elke modaal definieerbare eerste-orde formule logisch equivalent is met een zg. "positieve beperkte" formule, d.w.z. een formule die gekonstrueerd is uit atomaire formules en het falsum (een konstante die een vaste kontradiktie aanduidt), met behulp van konjunktie, disjunktie en beperkte kwantoren.