Intuitionistische Axiomatiek der Projectieve Meetkunde
Arend Heyting

Het doel van dit werkje is, den opbouw der projectieve meetkunde in overeenstemming te brengen met de intuitionistische opvatting der wiskunde. Voor een nadere uiteenzetting van die opvatting verwijzen wij naar de aan het slot van dit werkje opgegeven litteratuur. Hier beperken wij ons tot eenige algemeene opmerkingen.
Men kan de nieuwe opvatting der wiskunde wel van verschillende wijsgeerige standpunten uit benaderen. Het kan onverschillig zijn of men aanneemt, dat de door de wiskundige intuitie als direct duidelijk gegeven begrippen correspondeeren met objecten in een werkelijkheid buiten ons, dan wel ze uitsluitend beschouwt als producten van onzen geest. Van belang is slechts, dat men over een wiskundig systeem eerst dan kan redeneeren, wanneer men het te voren heeft gedacht, d.w.z. in zijn geest heeft opgebouwd. Pogingen om de wiskunde op de metaphysica te grondvesten moeten schipbreuk lijden omdat de metaphysica, voor zoover ze zich niet bepaalt tot het stellen van min of meer vage symbolen, maar exact formuleerbare resultaten verlangt, een zekere mate van wiskundig denken vooronderstelt. Toch is het feit, dat nieuwe opvattingen zoo langzaam doordringen, voornamelijk te wijten aan metaphysische denkgewoonten. Het geloof in het „principium tertii exclusi” berust meestal op den waan, dat het woord „bestaan” in ontologischen zin zonder meer duidelijk is. Daardoor zien de meeste wiskundigen de mogelijkheid en noodzakelijkheid, een dergelijk „bestaan” als grondslag voor abstracte wiskunde te wraken, niet onmiddellijk in. Zij komen dan licht tot de meening, dat de vraag, of een entiteit met gegeven eigenschappen „bestaat”, een van ons denken onafhankelijke beteekenis heeft. Zoo ontstaat, wat Weyl „naiver Existentialabsolutismus” noemt.
De formalisten hebben het laatst bedoelde standpunt sinds lang overwonnen; bij hen vindt men dan ook soms een zuiver begrip van het intuitionisme (zie bijv. P. Bernays, jahresbericht der D. M. V., 31, blz. 13-15). Daar hun doel is, zoo veel mogelijk van de oude wiskunde te redden, ook al gelukt dat slechts naar den uiterlijken vorm, is een juiste waardeering van hen niet te verwachten.
Voor de nieuwste uitwerking van het formalisme zie men D. Hilbert, Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg I, of Math. Ann. 88; W. Ackermann, Math. Ann. 93.
De axiomatiek is tot dusver bijna uitsluitend van formalistisch standpunt behandeld; zij dient dan als grondslag voor de wiskunde. Deze beteekenis verliest zij voor den intuitionist geheel; zelfs moet de vraag gesteld worden, of zij niet, evenals bijv. de formalistische machtigheidstheorie, elke beteekenis verliest. Weyl schijnt geneigd, deze vraag bevestigend te beantwoorden, waar hij betoogt, dat de wiskunde uitsluitend stellingen over bepaalde „functiones” kan bevatten, maar geen „allgemeine Aussagen” over groepen van functies, verzamelingen en soorten, omdat van zulke algemeene stellingen de beteekenis niet duidelijk is. Wellicht stelt een onderzoek als het volgende die beteekenis duidelijker in het licht. Wij stellen ons op het standpunt, dat het door Prof. Brouwer in „Begründung der Mengenlehre” I blz. 4 aangegeven beginsel, waardoor uit de soorten der n-de orde een soort A der (n+1)-de orde gevormd wordt, een duidelijken zin heeft. De axiomatiek is een toepassing van dat principe; de definieerende eigenschap der nieuwe soort A is, dat tusschen de elementen van haar elementen de door de axioma’s gepreciseerde relaties bestaan.
Wij volgen in hoofdzaak den gang van het werkje van A. N. Whitehead, „The axioms of projective geometry” (Cambridge University Press 1913), waarvan de axioma’s ontleend zijn aan Pieri (Memorie di Torino 1898). Op vele punten is verder gebruik gemaakt van een college over axiomatiek, door Prof. Brouwer in 1919 te Amsterdam gegeven. In het algemeen is dus slechts de aanpassing der bewijzen aan intuitionistische eischen als oorspronkelijk te beschouwen. Daarvoor was echter dikwijls een omwerking der stof noodzakelijk.
In hoofdstuk I bouwen wij de projectieve coördinatenmeetkunde zoover op, dat duidelijk wordt in hoeverre Pieri’s axioma’s wijziging behoeven. Deze opbouw is zeer abstract gehouden, zoodat de uitbreiding tot ruimten van meer dimensies gemakkelijk is. De methode voor het opbouwen van een ruimte door voortdurende tusschenvoeging van netpunten, die wij in § 2 en 3 toepassen, is in principe aangeduid door Weyl aan het slot van zijn artikel in Math. Zeitschr. Bd. X; deze bouwt daarbij voort op een gedachte van Prof. Brouwer (Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71).
De grondeigenschappen der hoofdbewerkingen, evenals enkele door directe berekening te verifieeren eigenschappen, bijv. van determinanten, heb ik bekend voorondersteld. Men vindt bijv. in Weber en Wellstein, Encyclopädie der Elementarmathematik, I, 3e druk § 26 een afleiding, die gemakkelijk streng te maken is. Vergelijk ook H. Weyl, l.c. Math. Zeitschr. X.
In hoofdstuk II leiden wij die stellingen af, waarvoor het ordeningsbegrip niet noodig is. Deze bewijzen zijn tamelijk uitvoerig gegeven, om de telkens terugkeerende karakteristieke moeilijkheden en bewijsmethoden duidelijk uit te doen komen. Wat de stof betreft, culmineert dit hoofdstuk in de algemeene bewijzen voor de beide stellingen van Desargues.
Hoofdstuk III behandelt de begrippen ordening en continuiteit, terwijl in hoofdstuk IV de aansluiting tusschen numerale en axiomatische meetkunde verkregen wordt. Hierbij wijzen wij in het bijzonder op de toepassingen van de stelling, dat iedere volle functie gelijkmatig continu is.
Naar een ontleding der axioma’s in hun eenvoudigste bestanddeelen, om den eisch der onafhankelijkheid tot het uiterste door te voeren, heb ik niet gestreefd. De verwikkelingen, die daardoor zouden ontstaan, konden slechts de aandacht van mijn eigenlijk doel afleiden.