Intuitionistic Correspondence Theory
Piet Rodenburg

Samenvatting
De Kripke-semantiek voor de intuitionistische logika induceert een verband tussen intermediaire axioma's en quasiordeningen (frames): men kan een intermediair axioma opvatten als een bewering over een frame, die geldt voor een gegeven frame juist als het axioma daarin geldig is. Daarmee wordt de taal van de propositielogika een medium voor de beschrijving van frames. De vraag rijst nu wat voor eigenschappen van frames op deze manier uitdrukbaar zijn. In het bijzonder kan men onderzoeken of formules van de propositielogika corresponderen met formules van een andere logische taal (met bijbehorende semantiek), in de zin dat ze dezelfde eigenschap van frames uitdrukken.
Dit proefschrift handelt voornamelijk over correspondenties tussen formules van de taal I van de intuïtionistische propositielogika en klassiek geïnterpreteerde formules van een predikaatlogische taal L0 met één binaire relatie. In deel II wordt bewezen dat er I-formules bestaan die niet eerste orde definieerbaar zijn (ie. niet corresponderen met L0-formules). Uit resultaten van Doets volgt dat sommige I-formules zelfs niet eerste orde definieerbaar zijn op relatief overzichtelijke klassen van frames, zoals bomen (met alle paden van type <= \omega), of eindige partiële ordeningen. De grenzen van de eerste orde definieerbaarheid worden in twee opzichten onderzocht: zekere beperkingen op de vorm van I-formules garanderen dat men een corresponderende L0-formule kan vinden; aan de andere kant worden langs verschillende wegen frameklassen afgebakend waarop elke I-formule eerste orde definieerbaar is. De I-formules in één propositieletter worden geclassificeerd naar eerste orde definieerbaarheid (paragraaf 11). Er wordt aangegeven hoe men kan beslissen of een I-formule eerste orde definieerbaar is op de klasse der bomen.
Deel III onderzoekt de afsluitingseigenschappen van I-definieerbare klassen vanframes; en welke L_O-formules corresponderen met I-formules. Bekende resultaten van de modale correspondentietheorie worden overgezet naar het intuïtionistische geval.
In twee uitweidingen in deel I worden fragmenten van de taal I bestudeerd, en enige opmerkingen gemaakt over correspondentie tussen I-formules en formules van dem odale propositielogika.
Een alternatieve interpretatie van I-formules in frames gaat terug op Beth. Voor de Beth-semantìek kan men dezelfde soort vragen stellen als hier is aangeduid met betrekking tot de semantiek van Kripke. De appendix bespreekt de vraag naar eerste orde definieerbaarheid. L0-definieerbare eigenschappen geven geen inzichtin de 'klassieke' Beth-interpretatie. Er bestaat echter een redelijke, meer handelbare variant van de Beth-semantiek.