Aspects of Diagonalization & Provability Albert Visser Dit proefschrift gaat (voornamelijk) over generalisaties van de eerste en tweede onvolledigheidsstelling van Gödel en ever begrippen die in het bewijs van deze stellingen voorkomen. In Gödels eerste stelling wordt een zin G in de taal van de rekenkunde geconstrueerd zodat de rekenkunde (bijvoorbeeld zoals genormaliseerd door Dedekind / Peano, met inductieschemal deze zin noch zijn negatie impliceert. Dit resultaat is op spectaculaire manier te generalizeren met behulp van een zogenaamd recursief onscheidbaarheidsargument. Omd it argument toe te kunnen passen is nodig dat de partiëel recursieve functies semirepresenteerbaar zijn in de beschouwde (consistente) theorieën. De formalizering van het begrip bewijsbaarheid en het begrip consistentie is uit het bewijs gevlimineerd. Deel 1 en 2 van dit proefschrift gaan in wezen over recursieve onscheidbaarheidsargumenten met het oog op toepassing op formele theorieén. (De bestudeerde methoden kunnen natuurlijk ook elders toegepast worden.) In zijn tweede stelling liet Gödel zien dat bovengenoemde zin G bewijsbaar equivalent is met (de formalizering van) 'de rekenkunde is consistent’. Löb heeFt in 1955 drie principes geisoleerd die om zo te zeggen aan het bewijs van deze equivalentie ten grondslag liggen. Natuurlijk is 'ten grondslag liggen aan’ vaag, en men kan dan ook heel goed andere principes formuleren die 'ten grondslag’ zouden 'liggen’ aan het bewijs. De principes van Löb hebben echter de prachtige eigensehap dat ze op te vatten zijn als principes van een modale propositielogica. Bovendien is het bewijs van voornoemde equivalentie, uit Löbs principes plus de 'definitievergelijking’ van G geheel in modale propositielogica te geven. Löbs werk heeft aanleiding gegeven tot een nieuwe tak van onderzoek: bewijsbaarheidslogica (zie bijvoorbeeld G. Boolps, The unprovability of consistency, Cambridge University Press, Cambridge, 1979). Belangrijke resultaten op dit gebied zijn de stellingen van D.H.J de Jongh en van R.M. Solovay. Deel 3, 4 en 5 van dit proefschrift zijn bijdragen tot de bewijsbaarheidslogica.