Compact Spaces and Compactification
An Algebraic Approach
Hendrik De Vries

Er bestaat een volledige dualiteit tussen de theorie der boole—algebra’s en de theorie van de nuldimensionale compacte hausdorff­ruimten (M. H. Stone). In dit proefschrift wordt o.a. een soortgelijke algebraïzering van de theorie van willekeurige compacte ruimten uitgevoerd (alleen hausdorffruimten worden beschouwd). Het begrip, dat de hele theorie ten grondslag ligt, is dat van een zogenaamde compingente algebra. Een karakteristiek voorbeeld van zo’n compingente algebra wordt gevonden in de boolealgebra B(C) van alle regulair open verzamelingen van een compacte ruimte C, voorzien van de relatie ,,<<” gedefinieerd door: voor a,b \in B(C), a << b \iff \bar{a} \subseteq b. Een volledige dualiteit wordt verkregen door slechts dergelijke, d.z. volledige, compingente algebra’s in aanmerking te nemen. De mogelijkheid van zo’n dualiteit werd gesuggereerd door J. de Groot. Compingente algebra’s kunnen bijvoorbeeld ook gebruikt Worden om de compactificaties van volledig reguliere ruimten te beschrijven.
Ofschoon de theorie der compingente algebra’s ook opgevat kan worden als een puntloze topologie (vgl. K. Menger), wordt dit aspect hier niet verder bekeken.
In het eerste hoofdstuk worden de compingente algebra’s als zodanig bestudeerd, terwijl ook het verband met de bijbehorende compacte ruimten opgehelderd wordt.
In het tweede hoofdstuk wordt de compactificatietheorie van volledig reguliere ruimten behandeld, waarbij op de gelijkenis met bestaande compactificatiemethoden gewezen wordt. Ook wordt de verwantschap met de theorie der nabijheidsruimten, vooral als ontwikkeld door J. M. Smirnow, aangegeven.
De laatste twee hoofdstukken handelen over de toepassingen van de voordien ontwikkelde theorie. Eerst worden o.a. stellingen van C. Kuratowski en H. Freudenthal over quasicomponentenruimten en eindpuntcompactificaties enigszins veralgemeend, waarna een tweetal stellingen bewezen wordt over het vraagstuk van de karakterizering van de complementen van n-dimensionale ruimten in compacte ruimten, dat afkomstig is van J. de Groot. De eerste twee paragrafen van hoofdstuk 4 geven veralgemeningen van stellingen van E. G. Sklyarenko en C. Kuratowski over gewicht- en dimensiebewarende compactificaties. Ten slotte worden stellingen bewezen over het bestaan van compactificaties die niet alleen het gewicht en de dimensie bewaren, maar ook de voortzetting van gegeven continue afbeeldingen toestaan. Hierbij wordt aangesloten bij resultaten die verkregen zijn door J. de Groot, R. H. McDowell en R. Engelking.