Exercises in Realizability
Jaap van Oosten

Samenvatting:

"Realiseerbaarheid" is een verzamelnaam voor verschillende interpretaties van intuitionistische formalismen (in dit proefschrift beschouw ik alleen uitbreidingen van de rekenkunde); in al deze interpretaties staat het begrip operatie centraal. Men definieert inductief een relatie "d realiseert \phi" tussen elementen d van een domein D en zinnen \phi van een taal L, en een zin heet realiseerbaar als er een d \in D is die hem realiseert. Het domein D zit zo in elkaar dat elementen ervan een of meer partiele functies van D naar D coderen, en anders dan in de gewone modeltheorie, wordt een implicatie \phi \to \psi door d gerealiseerd, als alle partiele functies door d gecodeerd, alle realisatoren van \phi naar realisatoren van \psi sturen.

Het oervoorbeeld van zo'n waarheidsdefinitie is Kleene's realiseerbaarheid uit 1945; in wezen zijn alle andere interpretaties varianten op dit idee.

Aanvankelijk was het nut van realiseerbaarheid beperkt tot het leveren van consistentie- en onafhankelijkheidsbewijzen; van betrekkelijk recente datum dateert het onderzoek van realiseerbaarheid vanuit modeltheoretisch oogpunt. Men zoekt een goede kategorie van realiseerbaarheids"modellen" en morfismen tussen deze. Hyland heeft in 1979 ontdekt dat de realiseerbaarheid van Kleene beschreven kan worden als de interpretatie van rekenkunde in een elementaire topos, de zogenaamde "effectieve topos".

In dit proefschrift wordt een aantal realiseerbaarheidsdefinities onderzocht, waarbij ook dit topos­theoretische gezichtspunt aan de orde komt: topossen worden geconstrueerd die de betreffende realiseerbaarheidsbegrippen generaliseren. Tevens worden deze interpretaties syntactisch behandeld, en worden bewijstheoretische eigenschappen van (uitbreidingen van) de rekenkunde afgeleid. In hoofdstuk 7 wordt een "abstracte" notie van realiseerbaarheid, geformaliseerd in een rekenkundige theorie, gedefinieerd waarvoor de intuitionistische predicatenlogica maximaal is: een predicaatlogische fonnule is bewijsbaar dan en slechts dan als al zijn rekenkundige substitutie-instanties, bewijsbaar in deze theorie, een realisator hebben. Dit suggereert dat realiseerbaarheid een correcte interpretatie van de intuitionistischelogische connectieven geeft, zoals ook Kleene's oorspronkelijke bedoeling was; mits men intuitionistisch redeneert (Klassiek redenerend kan men aantonen, dat dit niet het geval is).

Al met al hoop ik dat dit proefschrift een redelijk beeld geeft van wat met behulp van realiseerbaarheid kan worden bereikt.