%Nr: DS-93-02 %Auteur: Harry Buhrman %Titel: Resource Bounded Reductions Samenvatting: In dit proefschrift bestudeert Harry Buhrman de polynomiale tijd begrensde reducties. Een dergelijke reductie induceert een equivalentie relatie op verzamelingen, zodat de equivalentie klassen, bestaande uit de verzamelingen die tot elkaar reduceren, partieel geordend kunnen worden. Buhrman bestudeert de structuur die een polynomiale reductie aanbrengt op tijdbegrensde complexiteits klassen. Het centrale open problem binnen de computationele complexiteits theorie betreft de vraag of polynomiaal begrensde deterministische berekeningen even krachtig zijn als non-deterministische berekeningen, die polynomiaal begrensd zijn. Om een precies beeld te krijgen van de kracht van deterministische en non-deterministische berekeningen, zijn de klassen $\C{P}$ en $\C{NP}$ geintroduceerd. Het boven genoemde open probleem staat ook wel te boek als het $\C{P}$ versus $\C{NP}$ probleem. Aangezien er nog geen duidelijke uitspraak is gedaan of de klassen $\C{P}$ en $\C{NP}$ verschillen -- het probleem is te moeilijk om met de huidige kennis op te lossen -- is de aandacht verschoven naar de klassen $\C{E}$ en $\C{NE}$, die in de buurt van $\C{P}$ en $\C{NP}$ liggen. Ook voor deze klassen blijven veel problemen onopgelost. Desalniettemin is er enige vooruitgang te melden over de opheldering van de structuur, aangebracht door de polynomiale tijd reductie, op deze klassen. Er bestaat de hoop, dat de methoden en idee\"{e}n ontwikkeld voor het in kaart brengen van de structuur van deze klassen, enig licht zullen werpen op het centrale probleem. In dit proefschrift wordt een kleine stap gezent op de voorgestelde weg. In hoofdstuk 3 wordt bewezen dat de structuur van de volledige verzamelingen voor verschillende type reducties voor $\C{NE}$ gelijk is aan die van $\C{E}$. Opvallend is hier dat de 1-truth-table reductie dezelfde volledigheids notie induceert als de many-one reductie, temeer daar niet bekend is of $\C{NE}$ gesloten is onder complementatie. In hoofdstuk 4 komen de volledige verzamelingen voor $\C{E}$, $\C{NE}$ en $\C{NP}$ onder de loep. Buhrman probeert hier duidelijkheid te verkrijgen over de gevolgen van het hebben van redelijk dunne, subexponentieel dichte, volledige verzamelingen voor deze klassen. Er zijn sterke aanwijzingen dat deze klassen niet anders dan dichte volledige verzamelingen kunnen bevatten. Dit generaliseert eerdere resultaten die behaalt zijn op dit gebied. In hoofdstuk 5 wordt een complementaire strategie gebruikt: welke verzamelingen reduceren naar dunne, polynomiaal dichte, verzamelingen. Twee open problemen worden opgelost op en aangetoond wordt dat elke polynomiaal dichte verzameling op zeer simpele wijze te coderen is in een zogenaamde `tally' verzameling. Dit mag een verrassend resultaat genoemd worden daar algemeen vermoed werd dat een dergelijke codering onmogelijk was. Hoofdstuk 6 kan gezien worden als een vervolg van hoofdstuk 4. In dit hoofdstuk komen echter andere structurele eigenschappen dan dichtheid van volledige verzamelingen aan de orde. Buhrman bekijkt hoe robuust volledige verzamelingen zijn tegen het wegnemen en toevoegen van een relatief gering aantal elementen. De resultaten geven aan dat sommige elementen cruciaal zijn voor de volledigheid van de verzameling. Aan de andere kant blijkt echter dat het moeilijk is om zulke `hoekstenen' te vinden: als ge\"eist wordt dat de elementen in polynomiale tijd berekend moeten worden, dat dan voor een aantal volledigheids noties, volledigheid bewaard kan blijven. Interessant is dat een verder gaande generalisatie van de hier behaalde resultaten een ander open probleem zou oplossen: exponenti\"ele tijd heeft geen polynomiale circuits. In dit hoofdstuk wordt verder aandacht besteed of het mogelijk is verzamelingen, in het bijzonder volledige, te splitsen in twee delen die een gelijke hoeveelheid computationele informatie bevatten. In het geval van een splitsing voor volledige verzamelingen betekent dit dat de delen wederom volledig zijn. Voor many-one volledige verzamelingen in $\C{E}$ is een dergelijke splitsing {\em altijd} mogelijk, resulterend in het feit dat een volledige verzameling in oneindig veel stukjes verdeeld kan worden en dat ieder van de stukjes wederom volledig is. Interessant zijn deze splitsings resultaten met het oog op de eerder aangetoonde `hoekstenen' in een volledige verzameling. Hoofdstuk 7 benadert de structurele eigenschappen van een verzameling op een andere wijze met behulp van de zelfreductie. Een zelfreductie ordent niet twee verzamelingen maar geeft, voor \'e\'en verzameling, een interne structuur aan. Buhrman bekijkt welke verzamelingen in $\C{NP}$ waarschijnlijk -- een absoluut resultaat levert $\C{P} \not = \C{NP}$ -- zelfreduceerbaar zijn, en geeft een sterke karakterisering van de klasse $\C{P}$ in termen van verzamelingen, die zowel zelfreduceerbaar als p-selectief zijn. Deze laatste notie is een polynomiale tijdbegrensde versie van de uit de recursie theorie bekende notie van semirecursiviteit. Vervolgens wordt bewezen dat de klasse van p-selectieve verzamelingen gesloten is onder positieve Turing reducties. Tot slot geeft Buhrman onder redelijke aannamen, een gedetailleerd beeld van de verschillende zelfreduceerbaarheids noties op $\C{NP}$.