%Nr: DS-93-03 %Auteur: Rineke Verbrugge %Titel: Efficient Metamathematics Samenvatting: Dit proefschrift bevat een aantal resultaten over de metamathematica van eerste orde rekenkunden. Het zwaartepunt ligt bij het bestuderen van bewijsbaarheid voor begrensde rekenkunde en een alternatieve definitie van interpreteerbaarheid. Deel I gaat vooraf aan de eigenlijke resultaten. In het inleidende hoofdstuk 1 geeft Verbrugge een informele beschrijving van de rol van het begrip ``effici\"entie'' in de wiskunde en de metamathematica, en introduceert ook de belangrijkste begrippen die in het proefschrift aan de orde komen: complexiteitstheorie, begrensde rekenkunde, bewijsbaarheidslogica en interpreteerbaarheidslogica. Hoofdstuk 2 bevat de technische beschrijving van de in hoofdstuk 1 ge\"introduceerde begrippen, en daarnaast een beknopte opsomming van de stellingen uit de literatuur nodig voor het bewijzen van onze resultaten. Het hoofdstuk eindigt met een paragraaf waarin resultaten uit de literatuur besproken worden die de verschillen en overeenkomsten tussen enkele zwakke rekenkundige theorie\"en belichten. Interpreteerbaarheid en conservativiteit voor bepaalde klassen formules worden hier gebruikt om de kracht van de theorie\"en te vergelijken. Deel II is gewijd aan de begrensde rekenkunde. In hoofdstuk 3 wordt bewezen onder de complexiteitstheoretische aanname $NP \not = co-NP$ dat de begrensde rekenkunde geen volledigheid bewijst voor alle formules voor het vergelijken van getuigen. In de Peano Rekenkunde speelt bewijsbare volledigheid voor zulke formules een belangrijke rol bij het bewijzen van de geformaliseerde versie van Rossers Stelling en Solovay's Volledigheidsstelling. Om toch ook in de begrensde rekenkunde de geformaliseerde versie van Rossers Stelling te kunnen afleiden, bewijst Verbrugge eerst een reflectieprincipe voor ``kleine'' bewijzen. Het bewijs daarvan maakt gebruik van parti\"ele waarheidspredicaten en definieerbare sneden. Als toepassing van dit principe wordt een bewijs van een stelling van Bernardi en Montagna voor de begrensde rekenkunde gegeven. Bovendien gebruikt Verbrugge het ``kleine'' reflectieprincipe voor een simpele versterking van een bekende stelling over het injecteren van kleine bewijzen van inconsistentie, en tenslotte in het bewijs van een stelling over het bestaan van echte eindextensies van modellen van de begrensde rekenkunde die aan een zware extra eis voldoen. Hoofdstuk 4 keert terug naar het probleem van bewijsbare volledigheid: de complexiteitstheoretische aanname $P\not=NP\cap co-NP$ impliceert dat Buss' begrensde rekenkunde $S^0_1$ niet voor alle $\Sigma^0_1$-zinnen volledigheid bewijst. Hoofdstuk 5 presenteert parti\"ele antwoorden op de vraag: wat is de bewijsbaarheidslogica van de begrensde rekenkunde? Omdat bewijsbare volledigheid voor zinnen voor het vergelijken van getuigen op grond van resultaten uit hoofdstuk 3 en 4 dubieus is, kan Solovay's methode niet rechtstreek gebruikt worden. Met behulp van het kleine reflectieprincipe uit hoofdstuk 3 en definieerbare sneden wordt voor een geschikte klasse van Kripkeframes de methode van Solovay aangepast, en een inbedding gegeven van modellen op zulke eenvoudige frames in de begrensde rekenkunde. Ook bewijst Verbrugge dat de bewijsbaarheidslogica van de begrensde rekenkunde in ieder geval niet de modale theorie van een klasse Kripkebomen kan zijn. De vraag wat de bewijsbaarheidslogica van de begrensde rekenkunde dan wel is, is op het moment van schrijven voor zover bekend nog open. Deel III behandelt een alternatieve definitie van interpreteerbaarheid. In hoofdstuk 6 definieert Verbrugge ``uitvoerbare interpreteerbaarheid,'' waarbij de lengte van bewijzen van vertaalde axioma's begrensd is door een polynoom in de lengte van die axioma's zelf. Ze laat zien dat een aantal bekende interpretaties, zoals die van $ZF+ {\bf V}= {\bf L}$ in $ZF$, uitvoerbaar zijn. Aan de andere kant zijn niet alle interpretaties te vervangen door uitvoerbare interpretaties. Met behulp van diagonalisatie construeren we een theorie die weliswaar in de Peano Rekenkunde interpreteerbaar is, maar er niet op uitvoerbare wijze in ge\"interpreteerd kan worden. Verder wordt bewezen dat de interpreteerbaarheidslogica $ILM$ arithmetisch correct en volledig is voor uitvoerbare interpreteerbaarheid over de Peano Rekenkunde. Hoofdstuk 7 behandelt de definitionele complexiteit van uitvoerbare interpreteerbaarheid over de Peano Rekenkunde. Verbrugge bewijst door een recursie-theoretische reductie te combineren met een aangepaste versie van een methode van Lindstr\"om waarin parti\"ele waarheidsdefinities een belangrijke rol spelen, dat uitvoerbare interpreteerbaarheid over de Peano Rekenkunde $\Sigma^0_2$-volledig is. En passant geeft ze een karakterisering van uitvoerbare interpreteerbaarheid in de stijl van Orey en H\'ajek. De $\Sigma^0_2$-volledigheid van uitvoerbare interpreteerbaarheid over de Peano Rekenkunde staat in contrast met de $\Pi^0_2$-volledigheid van standaard interpreteerbaarheid over de Peano Rekenkunde. Het blijkt dat standaard interpreteerbaarheid en uitvoerbare interpreteerbaarheid substantieel verschillende extensies hebben. Verbrugge bewijst dat de verzameling zinnen die wel gewoon maar niet uitvoerbaar interpreteerbaar is over de Peano Rekenkunde, zelfs $\Pi^0_2$-volledig is.