%Nr: DS-94-01 %Auteur: Harold Schellinx %Titel: The Noble Art of Linear Decorating Samenvatting: Lineaire logica (Girard, 1987) is een verfijning van de formulering van klassieke logica als sequenten calculus (Gentzen, 1935). De `ingreep' is eenvoudig: in de `klassieke' formulering mag een formule, eenmaal als hypothese in een afleiding aanwezig, een in principe onbeperkt aantal keren als zodanig opgevoerd worden; bovendien kan iedere willekeurige formule als hypothese ge\"introduceerd worden, ook als er nooit daadwerkelijk gebruik van wordt gemaakt. Verder geldt het een aantal keren afleiden van een bepaald theorema als equivalent met dat precies \'e\'en keer doen, en mag aan een eenmaal bereikte conclusie $X$ naar willekeur een conclusie $Y$ (in de geest van `$X$ \'of $Y$') toegevoegd worden. In de `lineaire' formulering wordt aan dat soort praktijken paal en perk gesteld. Contractie (meervoudig gebruik) van en verzwakking (`we konden er ook zonder') met een hypothese kan enkel onder de voorwaarde dat de betreffende formule, zeg $A$, met een uitroepteken ($!A$) gemerkt wordt: {\em ``Natuurlijk, $A$!''}. Contractie (het samenrapen) van (identieke) conclusies of verzwakking met een willekeurige extra slotsom, mag enkel als we de betreffende kandidaat, zeg $B$, van een vraagteken ($?B$) voorzien: {\em ``Waarom niet $B$?''}.\footnote{De symbolen !, ? worden de `exponenten' of `modaliteiten' genoemd.} Dit blijkt een ingreep met v\'erstrekkende gevolgen. Het schrappen van ongelimiteerde contractie en verzwakking als regels in de sequenten calculus leidt in de eerste plaats tot een splitsing van de bekende logische connectieven in elk twee varianten, een {\em additieve} en een {\em multiplicatieve} \footnote{ % We gebruiken conjunctie bijvoorbeeld in de omgangstaal in de multiplicatieve zin, als we implicatie (`als ... dan') hanteren om een actie aan te duiden die middels {\em gebruik} van het antecedent tot het succedent leidt: ``Als Schellinx tienduizend gulden heeft, dan koopt hij tweedehands een zwarte BMW '', en ``Als Schellinx tienduizend gulden heeft, dan koopt hij een eerste druk van De Avonden''. Samenstelling van beide acties door middel van de `gewone' conjunctie (die `idempotent' is, dus o.a. contractie toelaat) maakt hem niet alleen de bink, maar, en voor hetzelfde geld, 'n `De Avonden' rijker. We weten natuurlijk beter. Ook in de lineaire logica, welke soms tot, vaak op soortgelijk flauwe voorbeelden gebaseerde, ongerechtvaardigd hoge verwachtingen met betrekking tot toepasbaarheid in `praktische' aangelegenheden aanleiding blijkt te geven. }. % Door het opnieuw toevoegen van de structurele regels, maar nu enkel voor gemodaliseerde (`gemerkte') formules, is bovendien de expressieve kracht van het systeem niet minder dan dat van intuitionistische of klassieke logica. De belangrijkste consequentie echter is dat de resulterende logica, met name in haar `bewijsnet'-formulering, in hoge mate {\em constructieve} eigenschappen bezit: zo is de snede- eliminatie procedure {\em sterk normalizerend} (reducties (i.e. berekeningen) zijn altijd eindig) en, voor belangrijke fragmenten, {\em confluent} (i.e. het resultaat is uniek). Bovendien is er een niet-triviale semantiek (coherentie-ruimten) voor bewijzen, invariant onder reductie. Als we de lineaire typering `vergeten', dan is een afleiding in lineaire logica niets anders dan een afleiding in klassieke, of misschien zelfs wel in intu\"itionistische logica. Schellinx laat o.a. zien dat omgekeerd elk klassiek, en elk intu\"itionistisch, bewijs voorkomt als `skelet' van (in principe oneindig veel) lineaire bewijzen. Dit vormt het uitgangspunt voor zijn werk, dat tweeledig van aard is: hij bekijkt afleidingen in de lineaire sequenten calculus {\em an sich}, en gebruikt lineaire logica als een bewijstheoretisch instrument voor het bestuderen van intu\"itionistische en klassieke bewijzen. \footnote{``... denn nicht das brechen des Strahls, sondern der Strahl selbst, wodurch die Wahrheit uns ber\"uhrt, ist das Erkennen ...'' (G.W.F. Hegel, Ph\"anomenologie des Geistes, Bamberg und W\"urzburg, 1807)} In hoofdstuk 5 wordt de {\em exponenten graaf} van een afleiding in klassieke (tweede orde) lineaire logica ge\"introduceerd, een artefact hetwelk de onderlinge relatie tussen exponenten in een bewijs weergeeft. Met behulp van die graaf karakteriseert Schellinx exponenten die geen (directe of indirecte) {\em structurele} oorzaak hebben. Deze kunnen verwijderd worden, en het resultaat is een afleiding die (1) nog steeds correct is, en (2) dezelfde {\em dynamiek} (i.e. gedrag onder reductie) heeft als het origineel. Onder bepaalde voorwaarden is de zo verkregen afleiding bovendien de {\em minimaal gemodaliseerde} met deze eigenschappen. De exponenten graaf stelt hem bovendien in staat die afleidingen in lineaire logica te karakteriseren welke {\em dilateerbaar} zijn, dat wil zeggen, waarin men alle gemodaliseerde formules kan vervangen door niet-modale formules. Weer (dit is zijn `sine-qua-non') zonder structuur en dynamiek van het origineel essentieel te veranderen. Het belangrijkste resultaat hier is dat een volledig ge\"expandeerde lineaire afleiding dilateerbaar is dan en slechts dan als haar exponenten graaf acyclisch is (hoofdstuk 8). Schellinx bestudeert de intu\"itionistische en klassieke sequenten calculus door middel van het inductief toepassen van modale vertalingen (hoofdstukken 2 en 3). Hij laat zien dat er in het `klassieke' geval in essentie {\em twee} modale vertalingen zijn welke de structuur van de oorspronkelijke afleiding ongewijzigd laten. Voor bepaalde belangrijke fragmenten, bijvoorbeeld dat bestaande uit de regels voor implicatie, universele eerste orde quantificatie en universele tweede orde (propositionele) quantificatie, is dit proc\'ed\'e van `lineair decoreren' volledig {\em deterministisch} (i.e. de wijze van modalizeren is eenduidig bepaald). Een gevolg is dat deze decoraties ondubbelzinnig een normalizatie procedure voor het betreffende fragment defini\"eren, zijnde de reflectie van de lineaire procedure toegepast op de decoratie. Het is daarom direct duidelijk dat deze procedure sterk normalizerend is. In hoofdstuk 6 introduceert hij het begrip {\em constrictief morfisme}, met behulp waarvan de genoemde modale vertalingen geoptimalizeerd kunnen worden. Dit leidt tot welgedefini\"eerde restricties op regels van de sequenten calculus, die volledigheid met betrekking tot bewijsbaarheid behouden. Bovendien kunnen deze restricties in een gegeven afleiding gerealiseerd worden door `toepassing van het morfisme', i.e. door eliminatie van de snede die het introduceert. Zo verkrijgt Schellinx `alternatieve' sequentencalculi voor intuit\"ionistische en klassieke logica voor welke de optimale modale vertalingen decorerend zijn. Ze heten {\bf ILU}, {\bf LKT} en {\bf LKQ}.