%Nr: DS-94-06
%Auteur: Domenico Zambella
%Titel: Chapters on Bounded Arithmetic \& on Provability Logic

Samenvatting:

Dit Proefschrift bestaat uit twee delen. Het eerste deel is aan de begrensde 
rekenkunde gewijd. Het eerste hoofdstuk daarvan bevat een inleidende paragraaf 
waarin ook op de motivatie van het onderzoek wordt ingegaan. Ik bestudeer 
uitbreidingen van zwakke fragmenten van de Peano-rekenkunde tot tweede-orde 
theorie\"en. Tweede orde variabelen staan voor eindige verzamelingen van 
natuurlijke getallen. Ik beperk me tot zwakke fragmenten van de 
Peano-rekenkunde d.w.z. theorie\"en die niet kunnen bewijzen dat de 
exponentiatiefunctie totaal is. Dat houdt in dat er eindige verzamelingen zijn 
die, hoewel ze te defini\"eren zijn met begrensde formules, niet gecodeerd 
kunnen worden door natuurlijke getallen. Dat maakt deze tweede--orde taal echt 
expressiever. Ik defini\"eer een hi\"erarchie van begrensde formules door het 
tellen van de wisselingen van tweede--orde begrensde kwantoren. Daarna wordt 
een hi\"erarchie van theorie\"en gedefinieerd door het introduceren van 
comprehensie-axioma's voor formules in deze klassen. 

Het is niet bekend of de bovengenoemde hi\"erarchie van begrensde formules een 
echte hi\"erarchie is; ook niet als we ons beperken tot het standaardmodel. Dit
blijkt een uiterst moeilijk probleem want het is equivalent met de vraag of de 
polynomiale hi\"erarchie instort. Een ermee verbonden vraag is of de 
hi\"erarchie van fragmenten van de begrensde rekenkunde ook instort. Hoewel 
dit tweede probleem sterk op het eerste lijkt is de relatie ertussen nog niet 
volledig begrepen. Ik laat zien dat, als de begrensde rekenkunde gelijk is aan 
een van haar fragmenten, dan is het bewijsbaar (in de begrensde rekenkunde) 
dat de polynomiale-tijd-hi\"erarchie instort. 

In het tweede hoofdstuk behandel ik een fragment van de begrensde rekenkunde 
van een andere soort. Hier wordt het comprehensie--axioma voor alle begrensde 
formules aangenomen maar de vermenigvuldigingsfunctie wordt uit de taal 
weggelaten. Ik noem deze theorie lineaire (begrensde) rekenkunde omdat de 
termen van de taal lineair zijn. Ik bewijs dat elk model van de lineaire 
rekenkunde een eindextensie heeft tot een fragment van de begrensde rekenkunde 
waarin vermenigvuldiging totaal is. Dat gaat echter ten koste van comprehensie.

Het tweede deel van dit proefschrift is gewijd aan de bewijsbaarheidslogica. De
grondbegrippen van dit vak zijn in een korte inleiding samengevat. In hoofdstuk 
drie geven we nieuwe bewijzen van de aritmetische volledigheid van $ILP$ and 
$ILM$. Albert Visser bewees dat $ILP$ de modale logica voor de 
interpreteerbaarheid over eindig geaxiomatiseerde theorie\"en is. Volodya 
Shavrukov en Alessandro Berarducci hebben (onafhankelijk van elkaar) laten zien 
dat $ILM$ de interpreteerbaarheidslogica van essentieel reflexieve theorie\"en 
is. Mijn bewijs van deze twee stellingen onthult de gemeenschappelijke 
aspecten van deze twee stellingen.

Het vierde hoofdstuk gaat over diagonaliseerbare algebra's, met name over 
subalgebra's van de diagonaliseerbare algebra van aritmetische theorie\"en. 
Naar aanleiding van een stelling van Volodya Shavrukov behandel ik de vraag of 
zijn resultaten ook voor zwakkere theorie\"en geldig zijn. Ik laat zien dat het
bewijs van Volodya Shavrukov kan worden aangepast om de stelling ook voor deze 
zwakkere theorie\"en te bewijzen.