%Nr: DS-94-07
%Auteur: V. Yu. Shavrukov
%Titel: Adventures in Diagonalizable Algebras

Samenvatting:

Dit proefschrift is gewijd aan diagonaliseerbare algebra's, in het bijzonder
aan die van formele theorie\"en zoals de Peano rekenkunde. Aangezien er over 
dit gebied in het algemeen niet te veel bekend was, beantwoorden we enkele 
eerste vragen over deze algebra's. 

Deel \'E\'en behandelt die algebra's die in een diagonaliseerbare algebra van 
een gegeven formele theorie ingebed kunnen worden. In het geval van inbeddingen
met een recursief opsombaar bereik wordt de verzameling van dergelijke 
algebra's gekarakteriseerd door een klein aantal simpele condities van 
algebra\"{\i}sche en recursieve aard. In het algemene geval, zonder restrictie 
op het bereik van de inbedding, geldt hetzelfde voor formele theorie\"en die 
niet $\Sigma_1$-correct zijn. Hierbij gebruiken we Solovay-functies die door 
een veranderend Kripke-model lopen. Onze constructies worden ondersteund door 
vele beschouwingen van modaal-logische aard. Onder meer bewijzen we een 
uniforme variant van de Interpolatiestelling voor de modale logica {\bf L}.

Deel Twee gaat over verschillen tussen de diagonaliseerbare algebra's van de 
Peano reken\-kunde en de Zermelo--Fraenkel Verzamelingenleer. Deze algebra's 
blijken niet isomorf te zijn. Het bewijs hiervan berust op schattingen van
de lengte van bewijzen van bepaalde zinnen in deze twee theorie\"en. 

In Deel Drie onderzoeken we de eerste-orde theorie van diagonaliseerbare 
algebra's. Methoden uit de interpreteerbaarheidslogica worden toegepast op het 
bouwen van een interpretatie van de ware eerste-orde rekenkunde in de 
eerste-orde theorie van diagonaliseerbare algebra's van $\Sigma_1$-correcte 
formele theorie\"en (resultaten uit Deel \'E\'en komen hier ook van pas). De 
interpretatie laat zien dat zulke diagonaliseerbare algebra's een onbeslisbare,
ja zelfs niet-arithmetische eerste-orde theorie hebben. Tenslotte wordt een 
alternatieve benadering die gebruik maakt van de canonische systemen van Post 
uitgewerkt, waarmee voor een bredere klasse formele theorie\"en de 
onbeslisbaarheid van hun diagonaliseerbare algebra's valt te bewijzen.