%Nr: DS-1998-01
%Author: Sebastiaan A. Terwijn
%Title: Computability and Measure

Samenvatting:

In dit proefschrift bespreken we een aantal 
vraagstukken uit de recursietheorie die betrekking hebben op 
maat en willekeurigheid. 
Het centrale begrip in de recursietheorie is het 
begrip `recursieve verzameling'. Een verzameling is recursief als 
er een algoritme bestaat om te bepalen of iets een element is van 
deze verzameling. 
Bij het bestuderen van deelklassen van de klasse van recursieve 
verzamelingen spreekt men in het algemeen van complexiteitstheorie. 

In hoofdstuk~1 introduceren en bespreken we de 
centrale begrippen uit dit proefschrift. 
In het bijzonder bespreken we enige elementaire maattheorie en de 
presentatie daarvan met behulp van zogenaamde martingalen. 
Deze functies, die opgevat kunnen worden als gokstrategie\"en, worden 
in een groot deel van dit proefschrift gebruikt om constructieve maattheorie 
te beschrijven. 
Dit in navolging van het werk van Schnorr en Lutz. 
In deze theorie worden diverse begrippen uit de klassieke maattheorie 
constructief gemaakt door de eis op te leggen dat ze 
{\em berekenbaar\/} zijn. De mate van berekenbaarheid fungeert hier 
als een parameter $\Delta$, waaraan we kunnen denken als een 
begrenzing op de toegestane methoden. Hierom wordt deze vorm van 
constructieve maattheorie ook wel `begrensde maattheorie' genoemd. 

Het doel van begrensde maattheorie is tweeledig. 
Ten eerste wordt het
door $\Delta$ voldoende strikt te kiezen mogelijk 
om idee\"en uit de klassieke maattheorie toe te passen op de 
studie van diverse complexiteitsklassen. 
Dit geeft informatie over hoe de `meeste' elementen van een 
complexiteitsklasse zich gedragen. 
Ten tweede geeft het bestuderen van begrensde maattheorie inzicht 
in het gedrag van {\em willekeurige\/} of {\em toevals-\/}verzamelingen. 
We kunnen hieraan denken als verzamelingen die gegenereerd zijn 
door een toevalsproces, zoals bijvoorbeeld het opwerpen van een munt. 
Een verzameling $A$ is $\Delta$-willekeurig als $\{A\}$ niet 
maat nul heeft in de begrensde maattheorie met parameter $\Delta$. 
Intu\"\i tief betekent dit dat een algoritme uit de klasse $\Delta$
geen regelmaat kan ontdekken in de ver\-za\-me\-ling~$A$. 

Bovenstaande idee\"en worden in hoofdstuk~2 toegepast 
op de com\-ple\-xi\-teits\-klas\-se E van verzamelingen die berekenbaar 
zijn in exponenti\"ele tijd. In het eerste deel van dit hoofdstuk 
worden zogenaamde generische verzamelingen bestudeerd en gebruikt om 
een generalisatie te bewijzen van een stelling van Juedes en Lutz. 
In sectie 2.5 worden willekeurigheid en genericiteit 
met elkaar vergeleken
en wordt duidelijk dat in deze context generische verzamelingen 
opgevat kunnen worden als een zwakke variant van toevalsverzamelingen. 
In het tweede deel van hoofdstuk~2 worden toevalsverzamelingen 
gebruikt om een vraag van Lutz te beantwoorden over het bestaan 
van zwak volledige verzamelingen die niet volledig zijn. 

In hoofdstuk~3 wordt het ontwerp van Lutz voor 
begrensde maattheorie enigszins aangepast om een maat te defini\"eren 
die geschikt is voor de studie van recursief opsombare 
(afgekort r.e., voor `recursively enumerable')
verzamelingen. 
Dit is een klasse van verzamelingen die een prominente rol 
speelt in de recursietheorie. 
We bestuderen zwakke begrippen van volledigheid 
en verkrijgen een volledig beeld 
(zie plaatje pagina 57) van de relaties tussen 
de verschillende begrippen van zwakke en `gewone' volledigheid. 
De studie van deze begrippen heeft ook consequenties voor een 
vraag die het begrip maat niet noemt, namelijk de vraag in hoeverre een 
onvolledige verzameling op een volledige verzameling kan lijken. 
Deze vraag wordt behandeld in sectie~3.3.

In hoofdstuk~4 bestuderen we klassen van martingalen 
corresponderend met de klassen uit de aritmetische hi\"erarchie. 
In het bijzonder bestuderen we de begrensde maat 
gedefinieerd door voor de klasse $\Delta$ de verzameling 
van recursief opsombare functies te nemen. 
De bij\-behorende toevalsverzamelingen zijn precies de 
verzamelingen die oorspronkelijk ge\"{\i}ntroduceerd zijn door 
Martin-L\"of als voorstel voor een algemene definitie van 
willekeurigheid. Het bestaan van universele recursief opsombare 
verzamelingen heeft tot gevolg dat de r.e.-willekeurige verzamelingen 
mooie eigenschappen hebben. 
We beschrijven de distributie van deze verzamelingen in termen van 
de bekende reduceerbaarheids-relaties uit de recursietheorie. 
We localiseren de klasse $R({\rm r.e.})$ van verzamelingen die 
geconstrueerd worden door zogenaamde r.e.-constructoren 
(pagina 65). 
In tegenstelling tot de klassen $R(\Delta)$ uit 
Lutz' begrensde maattheorie komt de klasse 
$R({\rm r.e.})$ niet overeen met een bekende klasse uit de recursietheorie. 
Tenslotte behandelen we analoge vragen voor de maten behorende 
bij de niveaus $\Delta_n$ van de aritmetische hi\"erarchie, en 
bewijzen we dat deze maten samenvallen met de maten behorend bij 
de niveaus $\Pi_n$. 

Hoofdstuk 5 behandelt verzamelingen die `laag' (low) zijn 
voor twee klassen van toevalsverzamelingen: de klasse $\EuScript R$ 
van Martin-L\"of uit hoofdstuk~4 en de klasse $\EuScript S$, 
oorspronkelijk ge\"{\i}ntroduceerd door Schnorr als een 
meer constructieve versie van $\EuScript R$. Een verzameling $A$ is 
laag voor een klasse $\cal C$ als voor de 
ge\-re\-la\-ti\-veer\-de versie 
${\cal C}^A$ van $\cal C$ geldt dat ${\cal C}={\cal C}^A$. 
Intu\"{\i}tief: als $A$ relatief 
$\cal C$ niet bijdraagt in rekenkracht. 
Recursieve verzamelingen zijn trivialiter laag voor 
zowel $\EuScript R$ als $\EuScript S$. 
We bewijzen dat in beide gevallen ook niet-recursieve 
verzamelingen bestaan die laag zijn. Dit toont aan dat substanti\"ele 
hoeveelheden informatie op zo'n manier gecodeerd kunnen liggen in een 
verzameling dat ze niet toegankelijk zijn voor elementen van 
respectievelijk $\EuScript R$ en $\EuScript S$. 
De gevallen $\EuScript R$ en $\EuScript S$ verschillen 
aanzienlijk. In het geval van $\EuScript R$ construeren we een 
niet-recursieve, recursief opsombare lage verzameling, en weten we 
niet of er zulke 
verzamelingen buiten $\Delta_2$ bestaan. In het geval van 
$\EuScript S$ construeren we $2^{\aleph_0}$ niet-recursieve 
lage verzamelingen en 
laten we zien dat deze noodzakelijkerwijs buiten $\Delta_2$ moeten 
liggen. De resultaten voor de verzamelingen die laag zijn voor 
$\EuScript S$ worden 
verkregen via een karakterisering van deze verzamelingen in puur 
recursietheoretische begrippen, dat wil zeggen zonder vermelding 
van maattheorie. Volgens deze karakterisering zijn de 
functies die recursief zijn in een lage verzameling recursief 
{\em traceerbaar\/} (sectie 5.4). 
We laten verder nog zien dat verzamelingen die 
laag zijn voor $\EuScript S$ hyper-immuun zijn, en dat de 
omkering van deze bewering niet algemeen geldt. 

In hoofdstuk~6, tenslotte, bespreken we kort een aantal thema's die 
betrekking hebben op recursieve martingalen. 
Aan de orde komen re\-du\-ceer\-baar\-heid naar 
toe\-vals\-ver\-za\-me\-lin\-gen, 
relaties tussen recursieve willekeurigheid en 
Kol\-mo\-go\-rov-com\-ple\-xi\-teit, 
de relatie tussen de maat gedefinieerd door recursieve martingalen 
en de maat van Schnorr bestudeerd in secties 5.4 en 5.5,  
partieel recursieve martingalen, en maat in $\Delta_2$.