Logics and provability
Katsumi Sasaki

In dit proefschrift behandelen we drie soorten propositielogica's.  De
eerste is een niet-modale propositielogica, formele propositielogica
(FPL) genaamd, een tweede is een intuitionistische modale logica, and
de derde soort bestaat uit interpreteerbaarheidslogica's.  Deze
logica's zijn gerelateerd aan of verbonden met de
bewijsbaarheidslogica GL we drie soorten propositielogica's.  De
eerste is een niet-modale propositielogica, formele propositielogica
(FPL) genaamd, een tweede is een intuitionistische modale logica, and
de derde soort bestaat uit interpreteerbaarheidslogica's.  Deze
logica's zijn gerelateerd aan of verbonden met de
bewijsbaarheidslogica GL, de normale modale logica verkregen uit de
kleinste normale modale logica K door toevoeging van Lob's axioma
$\Box (\Box p \supset p) \supset \Box p$.  De naam
``bewijsbaarheidslogica'' komt van Solovay's volledigheidsstelling.
Hij bewees dat GL volledig is met betrekking tot de formele
bewijsbaarheidsinterpretatie in de Peano-rekenkunde PA.  Om die reden
wordt GL wel beschouwd als een van de belangrijkste modale logica's.

FPL and de interpreteerbaarheidslogica's hebben ook een formele
bewijsbaarheidsinterpretatie.  De formele bewijsbaarheidslogica is de
propositielogica die door Godel's vertaling $\tau$ wordt ingebed in
GL.  Interpreeerbaarheidslogica's zijn modale logica's met een binaire
modale operator $\rhd$ die GL omvatten.  We behandelen deze twee
soorten logica's met deze motivering in gedachten.

De normale modal logica K4 is de sublogica van GL die uit K verkregen
wordt door toevoeging van het transitiviteitsaxioma $\Box p \supset
\Box \Box p$.  Zols te verwachten valt uit de additionele axioma's
van K4 and GL, het transitiviteitsaxioma en Lob's axioma, is K4 veel
eenvoudiger te behandelen dan GL.  Om die reden is, zoals door
C. Smorynski al werd gezegd, kennis van K4 nuttig voor de discussie
van GL.  We behandelen hier ook Visser's propositielogica (VPL), de
propositielogica die wordt ingebed in K4 door $\tau$ alvorens FPL te
behandelen, en de sublogica van de kleinste
interpreteerbaarheidslogica IL waarvan het $\rhd$-vrije fragment K4 is
voor IL.  We beschouwen de gevolgtrekkingsrelatie van VPL en een
eigenschap van Lob's axioma op VPL.  Het verkrijgen van snedevrije
sequentensystemen is hier de opgave.  We geven een dergelijk systeem
eerst voor VPL en de sublogica of IL, and daarna, onder gebruikmaking
van een eigenscahp van Lob's axioma, voor FPL and IL.

De laatste logica die hier wordt behandeld is een intuitionistische
modale logica, propositionele lax-logica (PLL) genoemd door
M. Fairtlough en M. Mendler.  PLL is geen logica voor bewijsbaarheid,
maar heeft andere interessante interpretaties.  Bijvoorbeeld, zij
correspondeert met de computationele getypte lambda-calculus
geintroduceerd door E. Moggi via het Curry-Howard isomorfisme.  Hier
bediscussieren we Diego's stelling in PLL, and verhelderen de
structuur van verzamelingen van disjunctievrije formules met slechts
eindig veel propositievariabelen.