The Origin and Well-Formedness of Tonal Pitch Structures Aline Honingh Het onderzoek beschreven in dit proefschrift concentreert zich rond de oorsprong van toonstructuren zoals toonladders of akkoorden in muziek. Het is vaak onduidelijk hoe dit soort toonstructuren zich hebben ontwikkeld en waar ze vandaan komen. We kunnen denken aan de volgende vragen. Waarom heeft de Westerse majeur toonladder (do, re, mi, fa, sol, la, si) 7 tonen, en zijn het er niet 6 of 8 of een ander aantal? En waarom bestaat de Japanse pentatonische toonladder uit 5 noten? Met andere woorden, zijn deze getallen willekeurig ontstaan uit verschillende culturen, of zijn deze getallen gerelateerd en wellicht ontstaan uit een en dezelfde oorsprong? Er is veel onderzoek dat de laatste visie ondersteunt. Dit onderzoek kan verdeeld worden in verschillende gebieden. Zo is er bijvoorbeeld het onderzoeksgebied evolutionaire musicologie waarin onderzoek wordt gedaan naar de evolutie van muziek vanuit biologisch en cultureel oogpunt. Verder zijn er studies die suggereren dat de toonladders uit verschillende culturen samenhangen met de instrumenten waarop gespeeld wordt. Ook zou gelijkzwevende stemming (een term die hieronder zal worden uitgelegd) een rol kunnen spelen. Bepaalde gelijkzwevende toonladders zijn gewild om verschillende redenen, bijvoorbeeld omdat ze de reine stemming goed benaderen en omdat ze tegelijkertijd de mogelijkheid hebben om te moduleren. Als laatste noem ik hier dan nog het onderzoek op het gebied van de zogenaamde ``wel-gevormde'' toonladders. Een toonladder kan wel-gevormd worden genoemd om verschillende redenen bijvoorbeeld omdat hij een symmetrische vorm heeft wanneer hij wordt weergegeven op een tonenrooster of kwintencirkel. Dit proefschrift focust zich op de laatste twee onderzoeksgebieden (gelijkzwevende stemming en wel-gevormdheid) om een gezamelijke oorsprong van toonladders mogelijk te kunnen verklaren. Naast een gezamelijke oorsprong kunnen deze studies ook dienen als evaluatie van bestaande toonladders (zijn sommige wellicht beter dan andere, of meer geschikt voor een bepaald doel?). Tenslotte kunnen toonladders die voortgebracht worden door de gevormde theorieen, dienen als suggesties voor nieuwe toonladders, die voor muziektheoretici, componisten en wetenschappers interessant zijn om te bestuderen. In dit proefschrift is een gedeelte gewijd aan de studie en evaluatie van gelijkzwevende toonladders. Verder is er een nieuwe notie van wel-gevormdheid geintroduceerd, waarvan in de laatste twee hoofdstukken toepassingen worden besproken. Gelijkzwevende stemming Sinds Pythagoras is reeds bekend dat een interval waarbij de verhouding van de frequenties is gegeven door 2:1 een rein (zuiver) interval oplevert: het octaaf. De kwint met de verhouding 3:2 is eveneens een rein interval. Deze (en meer) reine intervallen blijken onverenigbaar te zijn in een muziekinstrument. Als je bijvoorbeeld boven iedere toon op een piano een reine kwint of octaaf wil kunnen spelen, zouden er een oneindig aantal toetsen nodig zijn. Als oplossing van dit probleem is in de 19e eeuw de gelijkzwevende stemming ingevoerd, waarbij het octaaf verdeeld wordt in 12 gelijke delen. In deze stemming worden bepaalde intervallen uit de reine stemming goed benaderd. Veel onderzoekers, muziektheoretici en componisten hebben zich daarna afgevraagd of het ook mogelijk is het octaaf in een ander aantal dan 12 gelijke stukken te verdelen, waardoor mogelijk meer intervallen uit de reine stemming benaderd worden, of sommige intervallen wellicht beter benaderd worden. Er zijn veel studies gedaan naar een n-toons gelijkzwevende stemming of toonladder, waarbij geprobeerd werd n zo optimaal mogelijk te kiezen. De vraag is nu, wat is optimaal? Reine stemming beschrijft een oneindig aantal intervallen. Welke van deze intervallen moeten benaderd worden in een (eindige) gelijkzwevende stemming? Om tot een optimale keuze van n te komen moet dus een set van intervallen uit de reine stemming gekozen worden die benaderd dient te worden. De volgende vraag is: binnen deze set van intervallen, welk interval moet het beste benaderd worden, en welke daarna, en daarna? Of zijn alle intervallen even belangrijk? In deze studie heb ik een poging gedaan bovenstaande vragen te formaliseren om zo tot een model te komen dat de optimale waarden voor n voorspelt. De gevonden waarden voor n zijn: 12, 15, 19, 27, 31, 34, 41, 46, 53. Inderdaad blijkt de 12 toons gelijkzwevende stemming, degene die tegenwoordig gebruikt wordt, een goede stemming te zijn volgens dit model. Een aantal van de andere stemmingen is ook (in mindere mate dan 12) gebruikt en onderzocht. Als de resulterende gelijkzwevende stemmingen gebruikt worden om Westerse muziek mee te spelen, dient deze stemming wel consistent zijn met betrekking tot het Westerse notatiesysteem. Hiermee wordt bedoeld dat een element uit de gelijkzwevende toonladder wel naar meerdere nootnamen (zoals A,C#) mag verwijzen, maar dat een nootnaam niet naar meerdere elementen in de toonladders mag verwijzen. Als dit laatste wel het geval zou zijn, zou het bijvoorbeeld niet duidelijk zijn welke toets op een piano in te drukken wanneer iemand je vraagt om een A te spelen. Het gegeven dat een element naar meerdere noten kan verwijzen wordt enharmonische equivalentie genoemd. Bijvoorbeeld, op een (12-toons gelijkzwevende) piano verwijst de toets die naar de C# verwijst, ook naar de Db. Deze voorwaarden vormen restricties op het aantal mogelijkheden voor n, in een n-toons gelijkzwevende stemming. Dit betekent dat in sommige n-toons stemmingen niet gespeeld kan worden binnen het Westerse muziek-notatiesysteem. Om toch in deze `verboden' n-toons gelijkzwevende stemmingen te kunnen spelen gegeven bovenstaande regels, zou een ander notatiesysteem gebruikt moeten worden. Hoofdstuk 3 van dit proefschrift gaat in op deze vragen en maakt een voorspelling van de mo\-ge\-lijk\-he\-den van waarden voor n aan de hand van de opgelegde restricties door het notatiesysteem. Gecombineerd met de bovenstaande voorspelde waarden voor n (die verkregen waren door goede benadering van reine intervallen), voorspelt het Westerse notatiesysteem, dat systemen met n gelijk aan 12, 19 of 31 goede keuzes zouden zijn. Instrumenten in deze stemming zijn inderdaad vervaardigd. Wel-gevormdheid In dit onderdeel van deze studie is gefocust op toonladders en akkoorden in reine stemming. De centrale vraag is hier: wanneer noem je een set tonen een toonladder of akkoord en wat maakt een goede toonladder of akkoord? Er bestaat (tot op heden) geen eenduidig antwoord op deze vraag, en daarom beschouwen we een groot aantal toonladders in een toonruimte en kijken we naar de overeenkomsten. Het blijkt dat vrijwel alle toonladders een convexe vorm beschrijven in deze ruimte. Een convexe vorm is een vorm zonder inhammen of gaten (bijvoorbeeld een cirkel, vierkant of ovaal hebben een convexe vorm, maar een ster of donut hebben geen convexe vorm). Voor Westerse akkoorden geldt hetzelfde, alle laddereigen akkoorden (akkoorden uit de toonladder) hebben een convexe vorm. Dit proefschrift betoogt dat de convexiteit van toonladders en akkoorden te maken heeft met consonantie. Hoe meer de tonen met elkaar in verbinding staan (dus zonder inhammen of gaten tussen twee tonen), hoe makkelijker je van de ene toon naar de andere kunt gaan via consonante intervallen. Hiermee is nu ook een evaluatiemodel voor toonladders gemaakt: is de toonladder convex, dan noemen we hem wel-gevormd. Convexiteit blijkt onafhankelijk te zijn van de gekozen basis van de toonruimte, wat deze eigenschap nog specialer maakt: het is geen artefact van de ruimte. Doordat convexiteit is aangetoond voor een groot aantal toonladders waaronder ook niet Westerse toonladders, is dit een goede aanwijzing dat convexiteit unificerende eigenschappen van toonstructuren weer kan geven. Een eigenschap die verwant is aan convexiteit is compactheid: de mate waarin de elementen van een toonstructuur dicht bij elkaar zitten in de toonruimte. In tegenstelling tot convexiteit is compactheid wel afhankelijk van de gekozen basis van de toonruimte. Echter, het blijkt dat als de basis gekozen wordt die de meest consonante intervallen projecteert op de kleinste afstanden in de ruimte, de compactheid eveneens ge\"interpreteerd kan worden als een maat van consonantie: hoe compacter de set noten, hoe consonanter. We kunnen nu kijken naar toepassingen van de eigenschappen convexiteit en compactheid. Toepassing 1: juiste intonatie van akkoorden Als we praten over akkoorden, is dat meestal in termen van nootnamen of een aanduiding van waar een akkoord in een toonladder zit. We kunnen bijvoorbeeld spreken over het tonica akkoord, het akkoord dat op de grondtoon van de toonladder staat. Of we kunnen het hebben over het dominant septiem akkoord, het akkoord dat in de toonladder van C, de noten G,B,D,F beschrijft. Zelden echter, hebben we het over akkoorden in termen van frequentie-verhoudingen (zoals het akkoord 1,5/4,3/2) wanneer we een akkoord in een stuk muziek aanduiden. Dit komt omdat voor de meeste akkoorden het niet volledig duidelijk is hoe ze geintoneerd moeten worden. Natuurlijk bestaan hier veel meningen over, maar er is geen eenduidige theorie die iedereen volgt. Er vanuit gaande dat een akkoord zo consonant mogelijk moet klinken, kunnen we de mate van convexiteit en compactheid gebruiken om te ontdekken welke intonatie (welke frequentie-verhoudingen) geprefereerd wordt voor een aantal akkoorden. Als evaluatiemethode gebruiken we een andere bestaande maat voor consonantie, de functie voorgesteld door Euler. Het blijkt dat compactheid een betere indicator is voor consonantie van akkoorden dan convexiteit. Toepassing 2: juiste notatie van tonen In veel computer toepassingen worden tonen gecodeerd als MIDI getal. In het MIDI systeem is de centrale C gecodeerd als het getal 60; de toon die een halve toon hoger is (C#/Db) als 61 en zo verder. Deze MIDI notatie is analoog aan de 12-toons gelijkzwevende stemming. Beide maken geen onderscheid tussen enharmonisch equivalente noten zoals de C# en de Db. Echter, juist deze nootnamen bevatten veel informatie over bijvoorbeeld de toonsoort van een stuk, de harmonie, melodie en intonatie, en zijn dus heel belangrijk voor een muzikant om te weten. Om deze reden is het nuttig als er een model zou bestaan, die MIDI getallen in nootnamen zou omzetten. Dit is lastig, want de ene keer representeert een bepaald MIDI getal bijvoorbeeld een A#, maar een andere keer representeert datzelfde MIDI getal een Bb, afhankelijk van de muzikale context. In de literatuur zijn reeds een aantal modellen voorgesteld die proberen de noten juist te `spellen', gegeven een muziekstuk in MIDI notatie. Geen van de voorgestelde modellen werkt voor 100 procent goed, wat wil zeggen dat geen van deze modellen alle noten van alle ingegeven muziekstukken goed codeert. De `goede' codering wordt bij dit probleem gegeven door de notatie van de componist van het stuk. In dit proefschrift presenteer ik een nieuw model voor het juist `spellen' van noten, gebaseerd op de notie van compactheid. De toonsoort van een stuk draagt voor een groot gedeelte bij aan de muzikale context die ervoor zorgt dat een noot op een bepaalde manier gespeld wordt. Het blijkt dat, door de meest compacte vorm van een set noten te kiezen, deze noten zich vaak binnen een toonsoort bevinden wat er meestal voor zorgt dat dit de juist spelling van deze set noten weergeeft. In het resulterende compactheids-model kan het aantal noten in zo'n set gevarieerd worden, en het blijkt dat hoe meer noten in de set zitten, hoe beter het model werkt. Het compactheids-model is getest op alle preludes en fuga's uit het Wohltemperierte Klavier van J.S. Bach dat in totaal 41544 noten bevat. Een score van 99,21 procent wordt bereikt als de stukken verdeeld worden in sets van 7 noten. Dit betekent dat 99,21 procent van alle noten goed gespeld wordt met dit model. Hoewel deze score vergelijkbaar is met die van andere modellen bekend uit de literatuur, is het bijzonder dat een model dat slechts gebaseerd is op een principe zulke goede resultaten kan geven. Tenslotte De bestudeerde problemen samenvattend, kunnen deze gezien worden als projecties tussen verschillende aanduidingen voor tonen. In de studie over de gelijkzwevende stemming bijvoorbeeld, hebben we een projectie gemaakt van de frequentie-verhoudingen naar de elementen van de gelijkzwevende stemming en van de nootnamen naar de elementen van de gelijkzwevende stemming. Daarna, bij de problematiek rond de juiste stemming van akkoorden, hebben we ons bezig gehouden met hoe de nootnamen juist te projecteren op de frequentie-verhoudingen. Tenslotte draait het probleem van de juiste notatie van noten om een geschikte projectie van de elementen van gelijkzwevende stemming (of MIDI) naar de nootnamen. We hebben een aantal algemene regelmatigheden gevonden in toonstructuren, op basis waarvan de twee laatst genoemde projecties tot stand zijn gekomen. Terugkomend op de vragen die in het begin gesteld zijn, kan gezegd worden dat een aantal aspecten mogelijk heeft bijgedragen aan het ontstaan van verschillende toonladders. De n-toons gelijkzwevende toonladders die theoretisch gevonden werden door het zoeken naar een goede benadering van de reine stemming en een geschikte notatie, zijn tevens gevonden in de praktijk. Dit ondersteunt de aanname dat `reine stemming' en `geschikte notatie' onderliggende eisen zijn geweest voor het ontstaan van deze toonladders. Verder is convexiteit gevonden als overkoepelende eigenschap van een groot aantal reine toonladders. Enerzijds suggereert dit dat het principe van convexiteit een onderliggend principe geweest kan zijn dat een rol heeft gespeeld bij het ontstaan van toonladders. Anderzijds kan convexiteit gebruikt worden als evaluatiemodel zoals hierboven geschreven. Tenslotte kan de convexiteits-eigenschap gebruikt worden voor het verder exploreren en ontwikkelen van nieuwe toonladders.