Branches of imperfect information: logic, games, and computation Merlijn Sevenster Samenvatting: Speltheorie bestudeert situaties, waarin verscheidene spelers voorkomen, die elk een eigen agenda (utility function) hebben. De speltheorie heeft een grote reikwijdte wat betreft toepassingen. Zo wordt speltheorie niet alleen gebruikt om radiofrequenties te verwerven, maar ook voor het analyseren van voortplantingsgedrag van natuurlijke organismen. Zodoende wordt het woord "speler" bijzonder veelomvattend gebruikt binnen de speltheorie: commerciele bedrijven zijn spelers, evenals de Nederlandse overheid en bloemetjes en bijtjes. Evenzo heeft ook het woord "spel" een ruimere betekenis dan het doorgaans toegekend wordt in het Nederlands. In veel spelen zijn spelers onvolledig geinformeerd over de feitelijke stand van zaken. Een duidelijk voorbeeld hiervan vormt het bordspel Scotland Yard, waarin de politie een boef moet inrekenen, die zijn locatie slechts op gezette tijden prijsgeeft. Speltheoretische spelen met onvolledige informatie (imperfect information) staan centraal in dit proefschrift. In het bijzonder probeer ik in dit proefschrift een gevoel te ontwikkelen voor de manier, waarop onvolledige informatie de spelen moeilijker maakt. Iedereen, die bekend is met Scotland Yard, zal bijvoorbeeld beamen, dat het gemakkelijker wordt voor de politie om de boef te vangen, als de laatste zich vaker moet laten zien. De "moeilijkheid van een spel" wordt in dit proefschrift voornamelijk gemeten met behulp van de maten, die ontwikkeld zijn in een tak van de theoretische informatica: complexiteitstheorie. In deze discipline wordt de moeilijkheid, of complexiteit, van een probleem (voornamelijk) gemeten aan de hand van de hoeveelheid rekentijd of harde schijfruimte, die een computer nodig heeft om het probleem op te lossen. De moeilijkheid van een spel is dan gedefinieerd als de moeilijkheid van het probleem om te berekenen of een bepaalde speler een manier van spelen heeft die winst garandeert (winnende strategie). Er zijn enkele zeer algemene studies gedaan naar dit onderwerp en hun conclusie luidt, dat spelen met onvolledige informatie moeilijker zijn dan spelen met volledige informatie. Uit deze studies kan echter niet worden afgeleid welke specifieke spelen binnen een bepaalde groep van spelen de complexiteit van die groep als geheel opdrijven. Het is mogelijk, dat er spelen met onvolledige informatie zijn die weliswaar bijzonder complex zijn, maar voor geen enkel vakgebied van belang zijn. In mijn proefschrift bestudeer ik vier groepen spelen met onvolledige informatie: een per hoofdstuk. Elke groep spelen richt zich op een andere toepassing; drie van de vier zijn echter duidelijk georienteerd op de logica. Dientengevolge speelt logica een belangrijke rol binnen dit proefschrift. Dit betekent dat dit proefschrift zich op het snijvlak van speltheorie, informatica en logica bevindt, met onvolledige informatie als rode draad. De resultaten, die in dit proefschrift behaald zijn, zijn echter niet alleen bijdragen aan de kennis van spelen met onvolledige informatie. Per hoofdstuk hangt de onderzoeksrichting ook af van de voor de onderhavige toepassing relevante vraagstukken. Ook logica ligt binnen het bereik van speltheorie. Een rol, die speltheorie vervult binnen de logica, is het leveren van zogenoemde speltheoretische karakteriseringen van haar concepten. Dergelijke karakteriseringen herdefinieren concepten uit de logica gebruikmakend van speltheoretische noties, zoals spelers, agenda's en informatie. Om een of andere reden, die niet goed begrepen wordt, plegen speltheoretische karakteriseringen een intuitiever beeld op te leveren van het onderhavige logische concept. Deze karakteriseringen stellen de logicus dan ook in staat om dieper tot het wezen van de logische concepten door te dringen, en meer over hun eigenschappen te weten te komen. In Hoofdstuk 3, 4 en 5 worden speltheoretische karakteriseringen bekeken, die spelen met onvolledige informatie opleveren. Hoofdstuk 1 is het inleidende hoofdstuk van dit proefschrift. De lezer treft hier een korte beschrijving van de theoretische achtergrond aan en motiverende vragen. Hoofdstuk 2 is een zeer beknopte uiteenzetting van de definities van de termen, die in dit proefschrift gebezigd worden. In Hoofdstuk 3 wordt Independence-friendly logic (IF-logica) bestudeerd. IF-logica breidt eerste-orde logica uit door middel van geslashte kwantoren: ($\exists x /Y$), die een begrip van kwantoronafhankelijkheid formaliseren. De speltheoretische karakterisering van IF-logica modelleert deze onafhankelijkheid door middel van onvolledige informatie. Het is bekend dat de complexiteit van IF-logica hoger is dan die van eerste-orde logica. In Hoofdstuk 3 bestudeer ik twee fragmenten van IF-logica met als doel de oorzaken van deze hogere complexiteit te begrijpen. Deze twee fragmenten zijn respectievelijk gemotiveerd vanuit de speltheorie en de theoretische informatica (computationele logica). Hoofdstuk 4 geeft een speltheoretische karakterisering van zogenoemde partially ordered connectives. Partially ordered connectives zijn een variatie op de bekende Henkin kwantoren, ook wel bekend als partially ordered quantifiers. De resultaten in Hoofdstuk 4 suggereren, dat variaties op een logisch concept gekarakteriseerd kunnen worden als variaties op de speltheoretische karakterisering van dit logische concept. Dit bevestigt het gevoel dat logica en speltheorie nauw verbonden zijn. In de rest van Hoofdstuk 4 staat de analyse van logica's met partially ordered connectives centraal, voornamelijk vanuit het oogpunt van de descriptive complexity. Laatstgenoemde discipline biedt een perspectief op complexiteitstheorie vanuit de logica en hanteert als zodanig een fijner begrip van complexiteit. Hoofdstuk 5 richt zich op de partieel geordende kwantoren zoals die gebruikt worden in de formele semantiek. Een motiverende zin uit het Engels voor het gebruik van partieel geordende kwantoren luidt "Most boys and most girls dated each other". Ik benader partieel geordende kwantoren vanuit de speltheorie en de complexiteitstheorie. In het eerste deel wordt een nieuw speltheoretisch raamwerk opgebouwd, waarin partieel geordende kwantoren bestudeerd kunnen worden. Gebruikmakend van de complexiteitstheoretische noties "meet" ik de complexiteit van kwantoren, die voorkomen in natuurlijke taal. Het blijkt, dat de partieel geordende kwantor, die gebruikt wordt in de formalisatie van bovenstaande zin (branching most) een relatief hoge complexiteit heeft (NP-volledig). In Hoofdstuk 6 wordt het bordspel Scotland Yard onder de loep genomen, dat wil zeggen, een wiskundige abstractie van Scotland Yard. Deze abstractie stelt mij in staat om ook voor de volledige informatievariant van Scotland Yard de moeilijkheid te bepalen. Zoals ik in het begin van deze samenvatting stelde is Scotland Yard met volledige informatie gemakkelijker te spelen voor de politie. Daarom is het des te opvallender, dat volgens de complexiteitstheorie Scotland Yard met volledige informatie even moeilijk is als Scotland Yard met onvolledige informatie. Hoofdstuk 7 besluit het proefschrift met enkele conclusies.