Playing with Information
Jonathan Zvesper

Abstract:
De titel van dit proefschrift zegt niet zo veel over de inhoud. We
onderzoeken niet precies hoe er met informatie wordt "gespeeld", maar
veeleer hoe de informatie die spelers bezitten de uitkomst van het
spel bepaalt: hoe ze spelen, met informatie.  Zo bekijken we
bijvoorbeeld stellingen van de vorm `als de spelers dit soort
informatie hebben, dan maken ze dat soort keuzes'.

De inhoud van dit proefschrift beslaat een serie bijdragen aan de
literatuur over epistemische speltheorie. We onderzoeken de verbanden
tussen geloof en rationele keuze in een interactieve, meerspeler
context. Onze nadruk, zoals gebruikelijk onder epistemische
speltheoretici, ligt op de zogenaamde nietcooperatieve speltheorie,
waarin bindende contracten die spelers onderling kunnen aangaan
expliciet gemodelleerd worden.  We proberen zo veel mogelijk de gehele
interactiesituatie in onze spelen te modelleren. We proberen zo veel
mogelijk te vermijden aan te nemen dat de spelers exogene informatie
hebben over wat andere spelers van plan zijn, bijvoorbeeld gebaseerd
op eerdere observaties. We noemen dit de `one shot' interpretatie.
Dit betekend dat het type informatie dat wij beschouwen altijd gaat
over de `rationaliteit' van de spelers, of over informatie over dit
soort informatie.

Hoofdstuk 1 dient niet alleen ter introductie van enkele wiskundige
modellen die we gebruiken in dit proefschrift, maar bevat ook enkele
kleine bijdragen aan een simpele doch fundamentele stelling van de
epistemische speltheorie, die de `hoeveelheid wederzijdse geloof'
relateert aan het aantal ronden van interactie van niet optimale
strategieën.  Met wat sociologisch vernis zou je kunnen zeggen dat
deze stelling een directe correlatie bevestigt tussen aan de ene kant
de mate waarin een groep spelers over `dezelfde' informatie beschikt,
en anderzijds de mate waarin het gedrag van die spelers wordt
gecoördineerd doordat zij de voorkeuren van de anderen overwegen.
Zulk vernis zul je in het proefschrift verder niet aantreffen, het is
moeilijk deze zaken bondig in lekentermen samen te vatten. De
introductie schetst wel de basale logica van het bewijs van de
stelling.  Onze eigen kleine bijdragen in hoofdstuk 1 noemen we daar
`generalisaties'. Zo bekijken we hoe de logica uit te breiden is naar
het oneindige geval. Dit blijkt ietwat subtiel, en we beargumenteren
dat we de zogenaamde `neighbourhood' (of de sterk gerelateerde z.g.n.\
`topologische') modellen voor geloof moeten gebruiken in plaats van de
`relationele' modellen die gebruikelijk zijn in de epistemische
logica.  Voor diegenen die bekend zijn met epistemische logica: er
zijn hints van een verband met de problemen van logische
alwetendheid. In neighbourhood modellen kun je niet zonder meer
afleiden uit kennis van $\varphi$ en het feit dat $\varphi$ $\psi$
impliceert dat je dan $\psi$ weet.

In hoofdstuk 2 maken we het onderscheid, belangrijk in de logica,
tussen syntax (taal) en semantiek (modellen), en bespreken de
bijbehorende onderwerpen, zoals definieerbaarheid. De technische
bijdrage van dat hoofdstuk ligt in het beantwoorden van een
fundamentele vraag over het bestaan van een geloofsmodel dat in
bepaalde zin `compleet' is.

In hoofdstuk 3 spelen we met enkele idee=EBn over de dynamiek van
informatie, en bekijken waar epistemische condities vandaan komen. We
introduceren gereedschappen uit de `dynamisch epistemische logica', en
passen die aan voor gebruik in de neighbourhood modellen die we
veelvuldig gebruiken in dit proefschrift. We tonen ook het belang aan,
voor het begrip van bepaalde speltheoretische voorspellingen, van
herzienbaar geloof: dat wil zeggen, het modelleren van situaties
waarin een speler iets eerst kan geloven, en later kan leren dat
ditgene niet waar is.

In hoofdstuk 4 bekijken we een specifieke speltheoretische situatie
waarin de aannamen van de spelers zelf onwaar kunnen zijn in deze zin,
en ze verrast kunnen worden door de klaarblijkelijke irrationaliteit
van andere spelers.  Om deze reden geven we aandacht aan spellen met
verscheidene temporele stadia (zogenaamde `extensive games'). We
gebruiken de behandelde gereedschappen uit hoofdstuk 3 om epistemische
modellen van zulke situaties te maken, waarin spelers dingen kunnen
geloven die later onwaar blijken.  (Voor de speltheoreticus: we geven
een epistemisch raamwerk in termen van het begrip `stabiel geloof in
dynamische rationaliteit', voor achterwaartse inductie.)


Keywords: