Games in Set Theory and Logic
Daisuke Ikegam

Samenvatting:
In dit proefschrift bekijken we verschillende soorten oneindige spelen
en aanverwante onderwerpen in de verzamelingenleer en de wiskundige
logica. Hoofdstuk 1 is gewijd aan de algemene inleiding en technische
achtergrondinformatie. Het vervolg is als volgt opgezet:

Hoofdstuk 2:
Het is bekend dat de Baire-eigenschap een zogeheten
regulariteitseigenschap is van verzamelingen reële getallen, en dat
deze eigenschap gekarakteriseerd kan worden door middel van
Banach-Mazur-spelen. Wij karakteriseren vrijwel alle bekende
regulariteitseigenschappen van verzamelingen reële getallen via de
Baire-eigenschap van bepaalde topologische ruimtes en we gebruiken
Banach-Mazur-spelen om de algemene equivalentiestellingen aangaande
regulariteitseigenschappen, absoluutheid van forcing en
transcendentie-eigenschappen over bepaalde canonieke binnenmodellen te
bewijzen. Met behulp van deze equivalentieresultaten beantwoorden we
een aantal open vragen uit de verzamelingenleer van reële getallen.

Hoofdstuk  3:
We bespreken het verband tussen Gale-Stewart-spelen en
Blackwell-spelen. De eerste zijn oneindige spelen met volledige
informatie en komen uit de verzamelingenleer, de tweede zijn oneindige
spelen met onvolledigde informatie en komen uit de speltheorie. Het al
dan niet gedetermineerd zijn van Gale-Stewart-spelen is een belangrijk
onderwerp in de verzamelingenleer en we kunnen ons evengoed over het
gedetermineerd zijn van Blackwell-spelen buigen. We vergelijken het
Gedetermineerdheidsaxioma voor reële getallen (AD_R) met het
Blackwell-Gedetermineerdheidsaxioma voor reële getallen (Bl-AD_R). We
laten zien dat de consistentiekracht van Bl-AD_R strikt groter is dan
die van het Gedetermineerdheidsaxioma (AD). We laten zien dat Bl-AD_R
vrijwel alle bekende regulariteitseigenschappen van impliceert voor
alle verzamelingen reële getallen. We bespreken de mogelijkheid dat
AD_R en Bl-AD_R equivalent zijn onder Zermelo-Fraenkel
verzamelingenleer verrijkt met het Axioma van Afhankelijke Keuze
(ZF+DC), en de mogelijkheid van equiconsistentie van AD_R en Bl-AD_R.

Hoofdstuk 4:
We bestuderen het verband tussen het gedetermineerd zijn van
Gale-Stewart-spelen en grote kardinaalgetallen. Iteratiebomen zijn
belang-rijke objecten bij het bewijzen het gedetermineerd zijn van
Gale-Stewart-spelen uitgaande van grote kardinaalgetallen, en
alternerende ketens van lengte \omega zijn de belangrijkste
iteratiebomen die te maken hebben met het gedetermineerd zijn van
Gale-Stewart-spelen. We onderzoeken de bovengrenzen van de
consistentiekracht van het bestaan van alternerende ketens met lengte
\omega.

Hoofdstuk 5:
Wadge-reduceerbaarheid is een manier om de complexiteit van deelverzamelingen
van een topologische ruimte te meten via de continue reductie van een
deelverzameling van een topologische ruimte naar een andere in de
beschrijvende verzamelingenleer. Wadge-reduceerbaarheid correspondeert met
many-one-reduceerbaarheid in recursietheorie. Met behulp van de
karakterisering van Wadge-reduceerbaarheid voor de Baire-ruimte door middel
van Wadge-spelen kan de elegante theorie van de Wadge-reduceerbaarheid voor de
Baire-ruimte ont-wikkeld worden (denk aan bijna-lineariteit,
welgefundeerdheid), als we het gedetermineerdheidsaxioma (AD) aannemen. We
bestuderen Wadge-reduceerbaarheid voor de reële rechte, welke niet op een
soortgelijke manier gekarakteriseerd kan worden door middel van oneindige
spelen. We laten zien dat het Wadge Lemma niet opgaat voor de reële rechte en
dat de Wadge-ordening voor de reële rechte niet welgefundeerd is, en we
onderzoeken andere eigenschappen van de Wadge-ordening voor de reële rechte.

Hoofdstuk 6: 
Modale dekpuntslogica's zijn modale logica's met dekpunts-operatoren,
welke meerdere wenselijke eigenschappen gemeen hebben met eerste
orde-logica. We definiëren een productconstructie van een
gebeurtenismodel en een Kripke-model, en we bespreken het gesloten
zijn onder het nemen an producten van modale dekpuntslogica's. We
laten zien dat PDL, de modale \mu-calculus en een fragment van de
modale \mu-calculus gesloten zijn onder het nemen an producten.