Coherence and Complexity in Fragments of Dependence Logic
Jarmo Kontinen

Samenvatting:
In dit proefschrift bestuderen wij de eigenschappen van fragmenten van
de afhankelijkheidslogica D genomen over eindige structuren. Een
belangrijk concept voor het maken van een onderscheid tussen formules
is de zogenaamde k-coherentie van een formule. Het gelden van een
k-coherente formule in alle teams kan worden teruggebracht tot het
gelden in de k-element sub-teams. We beschrijven de coherentie van
kwantorloze D-formules, en we geven een voorbeeld van een formule die
niet k-coherent is voor elke k in N. We laten zien dat alle coherente
formules equivalent zijn aan eerste-orde zinnen wanneer een extra
predicaat het team interpreteert.

We beschrijven de rekenkundige complexiteit van het testen van
modellen voor D-formules. Een klassiek voorbeeld in de beschrijvende
complexiteitstheorie is Fagin's theorema, welke een verband aangeeft
tussen \Sigma_1^1-formules en talen in NP. D-formules hebben een
definitie in \Sigma_1^1 en vice versa. Gegeven Fagin's resultaat,
betekent dit dat de eigenschappen die definieerbaar zijn in D over
eindige structuren precies die eigenschappen zijn welke herkend worden
in NP. We gebruiken het concept van coherentie om de rekenkundige
complexiteit van het testen van de modellen voor D-formules te
kenmerken. We bepalen drie drempels in de rekenkundige complexiteit
van het testen van modellen:
1) het testen kan plaatsvinden in logaritmische ruimte (L),
2) het kan plaatsvinden in niet-deterministische logaritmische ruimte (NL),
3) het testen is compleet voor niet-deterministische polynomiale tijd (NP).
Voorts geven we complete gevallen voor NL en NP.

Een ander criterium dat we gebruiken om structuur te vinden in
afhankelijkheidslogica is asymptotische waarschijnlijkheid en de
0-1-wet. We laten zien dat de 0-1-wet geldt voor universele en
existentiële D-zinnen en ook voor kwantorloze formules, gegeven de
atomische waarschijnlijkheid van 1/2.

In het tweede deel van het proefschrift kenmerken we de 0-1-wet voor
proportionele kwantoren genomen over een uniforme distributie van
eindige grafieken. We zullen een precieze drempel geven voor wanneer
de 0-1 wet geldt voor L^k_{\infty \omega} (\exists^{s/t}) en voor
wanneer deze niet geldt.