Modal Fixpoint Logic: Some Model Theoretic Questions
Gaelle Fontaine
	
Dit proefschrift bestudeert enkele model-theoretische aspecten van de
modale \mu-calculus, een uitbreiding van de modale logica met kleinste
en grootste dekpuntoperatoren. We verkennen deze aspecten via een
`fijnstructuur' benadering van de \mu-calculus. Met andere woorden, we
concentreren ons op speciale klassen van structuren en specifieke
fragmenten van de taal. De methoden die wij gebruiken illustreren de
vruchtbare interactie tussen de \mu-calculus en andere
onderzoekgebieden, zoals automatentheorie, speltheorie en
modeltheorie.

Hoofdstuk 3 bewerkstelligt een volledigheidsresultaat voor de
\mu-calculus over eindige bomen. Het volledigheidsbewijs van de
\mu-calculus over willekeurige structuren staat bekend vanwege de
moeilijkheidsgraad, maar eindige bomen staan ons toe een veel
eenvoudiger argument te geven. De techniek die we gebruiken bestaat
uit het combineren van een Henkin-stijl semantiek voor de \mu-calculus
met modeltheoretische methoden geïnspireerd op het werk van Kees
Doets).

In hoofdstuk 4 bestuderen we de uitdrukkingskracht van de \mu-calculus
op het niveau van frames. De uitdrukkingskracht van de \mu-calculus op
het niveau van modellen (gelabelde grafen) is bekend, terwijl niets
bekend is van het niveau van frames (ongelabelde grafen). In de
setting van frames komen de propositieletters overeen met universeel
gekwantificeerde tweede-orde variabelen. Ons voornaamste resultaat is
een karakterisering van die monadische tweede-orde formules die op de
klasse van bomen (gezien als frames) equivalent zijn met een formule
van de \mu-calculus.

In Hoofdstuk 5 laten we karakteriseringen zien van specifieke
fragmenten van de \mu-calculus, waarvan de belangrijkste het Scott
continue fragment en het volledig-additieve fragment zijn. Een
interessant aspect van de continue formules is dat ze constructief
zijn, dat wil zeggen, hun kleinste dekpunten kunnen worden uitgerekend
in hoogstens \omega veel stappen. We geven ook een alternatief bewijs
voor de karakterisering van het volledig-additieve fragment, een
resultaat verkregen door Marco Hollenberg.  Ons bewijs verloopt langs
dezelfde lijnen als dat voor de karakterisering van het continue
fragment.

In het daaropvolgende hoofdstuk onderzoeken we de uitdrukkingskracht
van een fragment van CoreXPath. XPath is een navigatietaal voor XML
documenten en CoreXPath is geïntroduceerd om de logische kern van
XPath te vatten. In Hoofdstuk 6 maken we gebruik van de nauwe
verwantschap tussen CoreXPath en modale logica: door het combineren
van bekende resultaten aangaande de \mu-calculus (één daarvan uit
Hoofdstuk 5), verkrijgen we een karakterisering van een belangrijk
fragment van CoreXPath.

Ten slotte, in Hoofdstuk 7, ontwikkelen we automaten-theoretische
hulpmiddelen voor co-algebraische dekpuntlogica's, dat wil zeggen,
generaliseringen van de \mu-calculus naar het abstractieniveau van
co-algebras. Co-algebras geven een abstract kader voor het wiskundig
representeren van evoluerende systemen. We gebruiken deze hulpmiddelen
om zowel de beslisbaarheid van het vervulbaarheidsprobleem als de
kleine-model eigenschap voor co-algebraische dekpuntlogica's in een
algemene setting te laten zien. We verkrijgen een dubbel-exponentiële
bovengrens voor de complexiteit van het vervulbaarheidsprobleem.