Algebra and Topology. Investigations into canonical extensions, duality theory and point-free topology. Jacob Vosmaer Samenvatting: In dit proefschrift bespreken we drie onderwerpen: canonieke extensies van tralie-algebra’s, Stone-dualiteit voor distributive tralies met operatoren, en een generalisatie van de puntvrije Vietoris powerlocale-constructie. In Hoofdstukken 2 en 3 onderzoeken verbanden tussen canonieke extensies van tralie-algebra’s en topologische algebra, pro-eindige completeringen en gericht-volledige partiële ordeningen (dcpo’s). We geven een topologische karakterisering van de canonieke extensie van een tralie in §2.1.3, en een verbeterde karakterisering van canonieke extensies van orde-bewarende afbeeldingen als maximale continue extensies, alsmede andere continuïteitsresultaten, in §2.2. De verbetering in de resultaten in §2.2 schuilt in het feit dat we niet uitgaan van distributieve tralies, maar van willekeurige tralies. In §2.3 ronden we Hoofdstuk 2 af met een andere karakterisering van canonieke extensies, namelijk door middel van dcpo-presentaties. In Hoofdstuk 3 bespreken we canonieke extensies van willekeurige afbeeldingen en canonieke extensies van algebras, beide in relatie tot topologische algebra. In §3.3.2 laten we zien dat canonieke extensies van surjectieve algebrahomomorfismes tussen tralie-algebra’s wederom homomorfismes zijn. We gebruiken dit gegeven in §3.4.1 om te laten zien dat de pro-eindige completering van een willekeurige tralie-algebra A gekarakteriseerd kan worden als een volledig quotiënt van de canonieke extensie van A. Vervolgens onderzoeken we in §3.4.2 wanneer de pro-eindige completering van een tralie-algebra A samenvalt met de canonieke extensie van A. We sluiten Hoofdstuk 3 af met enige resultaten betreffende een universele eigenschap van canonieke extensies met betrekking tot Boolese topologische algebra’s in §3.4.3. In Hoofdstuk 4 verdiepen wij ons in de discrete Stone-dualiteit voor semi-topologische distributieve tralies met operatoren (DLO’s) en geordende Kripke-frames. In §4.1 behandelen we de dualiteit tussen pro-eindige DLO’s en de daarmee corresponderende erfelijk eindige geordende Kripke-frames. We bespreken enkele speciale gevallen van deze dualiteit in §4.2, te weten discrete dualiteit voor distributieve tralies, Boolese algebra’s, Heytingalgebra’s en modale algebra’s. Wij sluiten dit hoofdstuk af met een nadere blik op de voornoemde dualiteit in het geval van Boolese algebra’s met operatoren (BAO’s) in §4.3. In dit geval kunnen we niet alleen de pro-eindige BAO’s karakteriseren middels Stone-dualiteit, maar ook de compacte Hausdorff- en Boolese topologische BAO’s. We laten zien dat compacte Hausdorff-BAO’s (en Boolese topologische BAO’s) de dualen zijn van eindig vertakkende Kripke-frames. We passen deze kennis toe in een beschouwing van de inbedding van Kripke-frames in hun ultrafilterextensies in §4.3.2. In Hoofdstuk 5 gebruiken we een geometrische variant van de Carioca-axioma’s voor coalgebraïsche modale logica om een nieuwe beschrijving te geven van de puntvrije Vietorisconstructie. In §5.3.1 introduceren we de T-powerlocale-constructie, gegeven een endofunctor T : Set → Set op de categorie van verzamelingen. We laten vervolgens in §5.3.3 zien dat het P-powerlocale, waar P de covariante machtsverzamelingfunctor is, de oorspronkelijke Vietoris powerlocale-constructie geeft. In §5.3.4 laten we zien dat de T-powerlocale-constructie onderdeel is van een functor VT op de categorie van frames. Daarnaast laten we zien hoe een natuurlijke transformatie van een functor T′ naar T een natuurlijke transformatie van VT naar VT′ oplevert. In §5.3.5 laten we zien dat het T-powerlocale gepresenteerd kan worden door middel van flat sites; dit leidt tot een algebraïsch bewijs van het feit dat formules in onze geometrische coalgebraïsche modale logica disjunctieve normaalvormen hebben. Ten slotte laten we in §5.4 zien dat de T- powerlocale-constructie frame-eigenschappen als regulariteit, nul-dimensionaliteit en de combinatie van nul-dimensionaliteit en compactheid bewaart.