Grothendieck Inequalities, Nonlocal Games and Optimization Jop Briët Gemotiveerd door toepassingen in de kwantuminformatietheorie en optimalisatie introduceren we nieuwe varianten van de beroemde Grothendieck ongelijkheid. In de kwantuminformatietheorie passen we deze wiskundige gereedschappen toe in de studie van de meest verrassende en merkwaardige voorspelling van de kwantummechanica: verstrengeling. In optimalisatie gebruiken we ze om de nauwkeurigheid te bepalen van efficiente approximatie algoritmen voor geometrische problemen die op natuurlijk wijze voortkomen uit de studie van verstrengeling en uit modellen voor interacterende deeltjes die beschouwd worden in de klassieke statistische fysica. In dit proefschrift wordt verstrengeling bestudeert met behulp van nonlokale spellen. Een nonlokaal spel wordt gespeeld door twee of meer deelnemers die niet met elkaar mogen communiceren, maar wel in contact staan met een scheidsrechter. Als het spel begint vraagt de scheidsrechter aan elke deelnemer een vraag, waarna ze hem elk een antwoord terugsturen. De scheidsrechter bepaalt vervolgens of de deelnemers winnen of verliezen op basis van enkel de gestelde vragen en verkregen antwoorden. De deelnemers weten van te voren welke antwoorden nodig zijn om het spel te winnen; dat is natuurlijk het doel. Het probleem is dat een deelnemer alleen de vraag kent die direct aan hem gesteld is en niet de vragen die aan de andere deelnemers gesteld zijn. De deelnemers spelen dus niet tegen elkaar, maar moeten juist proberen hun strategieen te coordineren. In een wereld waar de wetten van de klassieke mechanica gelden is de beste strategie voor een nonlokaal spel altijd de meest voor de hand liggende: bepaal vooraf de antwoorden op alle mogelijke vragen. In een kwantummechanische wereld daarentegen, kunnen meer ingewikkelde strategieen soms een beter resultaat geven. Elke deelnemer kan zijn antwoord laten afhangen van de uitkomst van een natuurkundig experiment. De onderscheidende eigenschap van een dergelijke handelwijze is dat het de deelnemers kunnen produceren die gecorreleerd zijn op een manier die onmogelijk is in een klassieke wereld. In dat geval zijn de deelnemers verstrengeld. Het feit dat de kwantummechanica het bestaan van zo'n fenomeen voorspelt, werd in 1935 door Einstein, Podolski en Rosen gebruikt om te beargumenteren dat deze theorie niet compleet zou kunnen zijn. Volgens hen zou verstrengeling geen deel uit moeten maken van een redelijke beschrijving van de natuur. Verrassend genoeg gaven experimenten van Aspect el al. uit de jaren '80 overtuigend bewijs dat de wereld waarin wij leven wel degelijk zulke effecten toestaat! Verstrengeling wordt wiskundig beschreven door een vector, aangeduid als een toestand, in een Hilbert ruimte. We bewijzen dat voor een grote verzameling toestanden, het voordeel dat verstrengelde spelers hebben door deze te bebruiken in de meest eenvoudige nonlokale spellen vrij klein is ten opzichte van klassieke strategieen. Als een bonus geeft het bewijs van dit resultaat ook de oplossing voor een 35-jaar-oud probleem van Varopoulos in het wiskundige gebied van Banach ruimtes. Optimalisatie betekent het doorzoeken van een doorgaans grote verzameling met als doel een element met de beste eigenschappen te vinden. Een voorbeeld daarvan is het vinden van een strategie voor een nonlokaal spel waarmee de deelnemers de grootste kans hebben om te winnen. Een ander voorbeeld is het orienteren van de magnetische velden van interacterende deeltjes, zodat de energie van het systeem dat deze vormen minimaal is. De optimalisatieproblemen die het meest bestudeerd worden zijn van een combinatorisch type. Voorbeelden zijn het vinden van een optimale klassieke strategie voor een nonlokaal spel, maar ook het minimaliseren van de energie van een verzameling deeltjes in het Ising-model uit de klassieke statistische mechanica. Beide vergen een zoektocht over een discrete verzameling mogelijkheden. In dit proefschrift beschouwen we optimalisatieproblemen van een meer geometrisch type. Een typisch voorbeeld hiervan is het zoeken van een optimale verdeling van een eindig aantal punten op het oppervlak van een driedimensionale bal. Deze geometrische optimalisatieproblemen vloeien op natuurlijke wijze voort uit de studie van verstrengeling wanneer men de mate van verstrengeling beperkt die gebruikt mag worden door deelnemers van een nonlokaal spel. Deze problemen komen ook voort uit het Heisenberg-model van interacterende deeltjes, welk model ook gebruikt wordt in klassieke statistische fysica. De meeste van die hiervoor beschreven problemen kunnen waarschijnlijk door geen enkele computer binnen een redelijke hoeveelheid tijd precies worden opgelost. Als tijd een belangrijke rol speelt, dan is het beste alternatief om te zoeken naar een zo goed mogelijke oplossing die snel gevonden kan worden. We gebruiken nieuwe varianten van Grothendiecks ongelijkheid in de analyse van algoritmen voor de hiervoor beschreven geometrische problemen die precies zo een alternatief bieden.