Modalities Through the Looking Glass: A study on coalgebraic modal logic and their applications Raul Andres Leal Samenvatting: Dit proefschrift gaat over coalgebra's en modale logica's. Simpel gezegd zijn coalgebra's machines gezien vanuit het perspectief van de gebruiker. Iets formeler gesproken kunnen we stellen dat coalgebra's de basis vormen voor een wiskundige theorie van computersystemen. Met coalgebra's kunnen we systemen bestuderen waartoe we maar beperkt toegang hebben, of waarvan de toestanden niet volledig bekend zijn. Dit heet het black-box perspectief. Een concreet voorbeeld van dit perspectief is onze interactie met een koffiezetapparaat. De meeste mensen weten niet hoe het binnenste van een koffiezetapparaat eruitziet, laat staan dat ze weten hoe dat binnenste werkt. Toch weten de meeste mensen hoe ze koffiezetapparaat moeten bedienen. De gebruiker ervaart het binnenste van de machine als een black-box. Het koffiezetapparaat is een coalgebra. Modale logica's bieden een interne, lokale kijk op relationele structuren. De oorsprong ervan ligt in de wijsbegeerte. Modale logica's is begonnen als de studie van logische eigenschappen van modaliteiten zoals "het moet dat...", "het is mogelijk dat...", "ergens in de toekomst...". Maar dankzij de relationele semantiek hebben deze modale logica's hun weg gevonden in de taalkunde, de kunstmatige intelligentie, en de theoretische informatica. Deze flexibiliteit is de belangrijkste reden om de talen waarin deze modale logica's gesteld zijn, te kiezen als uitdrukkingsmiddel om de eigenschappen van coalgebra's te beschrijven. Tegenwoordig kunnen we ook zeggen dat modale logica's coalgebraïsch zijn. Het proefschrift heeft twee delen: Modalities in the Stone age en Coalgebraic modal logics at work. In het eerste deel ontwikkelen we coalgebraïsche modale logica's. Dit soort van logica's vormen heden ten dage een van het belangrijkste studie-object in het vakgebied van logica's voor coalgebra's. Coalgebraïsche modale logica's brengen de veelheid van modale logica's die een rol spelen in de Theoretische Informatica onder één noemer. Vanuit dit perspectief kunnen we al die systemen met dezelfde wiskundige technieken bestuderen. Meer specifiek ziet het eerste deel van dit proefschrift er als volgt uit: allereerst introduceren we coalgebraïsche modale logica's als een veralgemenisering van de 'oer'-modale logica's. De basis ingredienten hier zijn de zogenoemde predicate liftings of concrete modalities. We gebruiken deze concrete modaliteiten om het zogenoemde functorial framework voor coalgebraïsche modale logica's te ontwikkelen. Zo belanden we bij een algebrasche semantiek voor modale logica. We gebruiken dit perspectief om verschillende coalgebraïsche modale logica's te vergelijken via vertalingen. We richten onze aandacht daarbij in het bijzonder op de de zogenoemde Moss logica. We sluiten dit deel af met een representatie stelling waarin we bewijzen dat alle modale logica's binnen het functorial framework axiomatische systemen zijn van logica's waarin de modaliteiten predicate liftings zijn. In het tweede deel van dit proefschrift onderzoeken we de grenzen van coalgebraïsche modale logica's verder. Het bestaat uit drie case studies. In de eerste daarvan gebruiken we logica's voor coalgebra's om coalgebra's te bouwen. We passen dit toe om inzicht te krijgen in het verband tussen eindige coalgebra's en de Hennessy-Milner eigenschap. In de tweede case studie kijken we naar dynamische logica's als coalgebraïsche modale logica's; dynamische logica's worden dikwijls gebruikt om over computerprogramma's te redeneren. Als derde voorbeeld bestuderen we coalgebraïssche modale logica's als een formalisme om het (ongoing)-gedrag van een toestand in een toestandssysteem te beschrijven. We richten onze aandacht daarbij op dekpuntlogica's met predicate liftings als modaliteiten. We ontwikkelen een speltheoretische semantiek voor deze logica's en bepalen een bovengrens voor het vervulbaarheidsprobleem.