Regularity Properties and Definability in the Real Number Continuum. Idealized forcing, polarized partitions, Hausdorff gaps and mad families in the projective hierarchy. Yurii Khomskii Samenvatting: In dit proefschrift worden vragen bestudeerd die van belang zijn voor de grondslagen van de wiskunde, met name het continuüm der reële getallen. We bekijken aan de ene kant zogenaamde regulariteits- eigenschappen van verzamelingen van reële getallen, en aan de andere kant definieerbaarheid van zulke verzamelingen. Met ``regulariteitseigenschappen'' doelen we op bepaalde wenselijke eigenschappen van verzamelingen, welke garanderen dat deze verzamelingen een goed gedraag vertonen, overeenkomstig zijn met onze intuïtie, of zich eenvoudig laten bestuderen. Klassieke voorbeelden hiervan zijn Lebesgue-meetbaarheid, de eigenschap van Baire en de perfecte verzamleingeigenschap. Met ``definieerbaarheid'' doelen we op de mogelijkheid een expliciete beschrijving van een verzameling te geven. Klassieke voorbeelden van definieerbare verzamelingen zijn de Borel-, de analytische en de projectieve verzamelingen, en dit leidt tot een maat van complexiteit waarbij een verzameling net zo complex wordt beschouwd als de logische uitdrukking die deze verzameling definieert. Het verband tussen regulariteit en definieerbaarheid was al vanaf het begin van de 20e eeuw bekend. Zo voldoen bijvoorbeeld alle Borel- en analytische verzamelingen aan de meeste regulariteitseigenschappen. Door gebruik te maken van het Keuzeaxioma kunnen verzamelingen zonder zulke regulariteitseigenschappen worden geconstrueerd, maar deze zijn in het algemeen niet definieerbaar. In het construeerbare universum $L$ van Gödel worden deze tegenvoorbeelden echter ook op het niveau $\SIGMA^1_2$ gevonden (het eerstvolgende complexiteitsniveau na het niveau $\SIGMA^1_1$ van de analytische verzamelingen). Doorgaans is de bewering dat alle $\SIGMA^1_2$- of $\DELTA^1_2$-verzamelingen aan een bepaalde regulariteitseigenschap voldoen, onafhankelijk van ZFC, de gebruikelijke axiomatisering van de verzamelingenleer. Bovendien kunnen zulke beweringen als mogelijke aanvullende hypothesen worden beschouwd, welke onder andere als gevolg hebben dat het huidige wiskundige universum in een bepaalde zin groter is dan $L$. Het zwaartepunt van dit proefschrift is de wisselwerking tussen regulariteits-eigenschappen en definieerbaarheid, met name het verband tussen hypothesen over regulariteit en meta-mathematische beweringen over het wiskundig universum. In Hoofdstuk 2 geven we een abstracte behandelen we het bovengenoemde fenomeen in het kader van Idealized Forcing, een begrip dat door Jindřich Zapletal werd ingevoerd. We generaliseren een aantal welbekende stellingen in dit gebied, en ook een recent resultaat van Daisuke Ikegami. Daarbij komen veel interessante vragen tevoorschijn. In dit hoofdstuk dient de zogenaamde forcing-methode als voornaamste bewijsmiddel. In Hoofdstuk 3 beschouwen we de gepolariseerde partitie-eigenschap, een regulariteitseigenschap dat gemotiveerd is door combinatorische problemen, en aanverwandt aan de klassieke eigenschap van Ramsey. Deze werd onlangs in het werk van, onder andere, Carlos A. Di Prisco and Stevo Todorčević bestudeerd. We bewijzen een aantal resultaten die deze eigenschap met andere bekende eigenschappen op het $\SIGMA^1_2$- en het $\DELTA^1_2$-niveau vergelijken. In Hoofdstuk 4 richten we onze aandacht op Hausdorff-gaten, klassiek objecten die al sinds het vroege 20e eeuw bekend zijn, met talrijke toepassingen in verschillende gebieden van de wiskunde waaronder de topologie en de analyse. Hier bewijzen we een uitbreiding van een stelling van Stevo Todorčević die zegt dat een analytisch Hausdorff-gat niet bestaat. In Hoofdstuk 5 bekijken we maximaal bijna disjuncte (m.b.d.) families vanuit het definieerbare standpunt. We voeren een nieuw begrip van onvernietigbaarheid van m.b.d. families onder forcing in, en gebruiken dit om een behoudsresultaat te bewijzen dat de consistentie van $\bb > \aleph_1$ met het bestaan van een $\SIGMA^1_2$-definieerbare m.b.d familie vaststelt. Dit beantwoordt een vraag van Sy Friedman en Lyubomyr Zdomskyy.