Orthogonality and Quantum Geometry: Towards a Relational Reconstruction of Quantum Theory
Shengyang Zhong

Samenvatting:
Dit proefschrift is een uitvoerige wiskundige studie van de non-orthogonaliteitsrelatie in de kwantumtheorie.

De kwantummechanica is een cruciaal onderdeel van de moderne natuurkunde. Hoewel deze theorie zeer succesvol microscopische verschijnselen kan beschrijven, is de onderliggende conceptuele essentie nog steeds niet goed begrepen. Het standaard formalisme, dat gebruik maakt van Hilbert ruimtes, is daarvoor een van de redenen. Dit formalisme is goed voor berekenen en voorspellen, maar het verduistert in zekere zin ook het conceptuele beeld achter de kwantumtheorie. In de kwantumlogica nemen onderzoekers daarom de natuurkundige intu\"{i}ties als uitgangspunt en modelleren deze in simpele wiskundige structuren die kwantumeigenschappen kunnen verhelderen. Vervolgens kan men de standaard kwantumtheorie weer reconstrueren door aan te tonen dat deze structuren worden gerepresenteerd door Hilbert ruimtes. Op deze manier wordt de kwantumtheorie in duidelijke structuren vervat.

In dit promotieonderzoek neem ik de relatie van niet-orthogonaliteit (niet-loodrechtheid) tussen (zuivere) kwantum toestanden als uitgangspunt. Hiervoor zijn meerdere redenen. Ten eerste, niet-orthogonaliteit is een binaire relatie tussen toestanden en dus wiskundig zeer eenvoudig. Ten tweede, deze relatie beschrijft de toestandsveranderingen die worden veroorzaakt wordt door metingen aan een fysisch systeem. En ten derde, bestaand technisch  werk heeft het belang van deze relatie in de kwantumtheorie al bewezen. Daarom kan een reconstructie in termen van deze relatie licht werpen op de grondslagen van de kwantumtheorie. De resultaten in dit proefschrift tonen de mogelijkheid aan van zo'n reconstructie, en vormen daarmee een veelbelovend begin.

In hoofdstuk 2 definieer ik kwantum Kripke frames, de hoofdrolspeler van mijn proefschrift. Een kwantum Kripke frame is een Kripke frame waarbij de binaire relatie enkele simpele eigenschappen bezit van de non-orthogonaliteitsrelatie in de kwantumtheorie. De structuur van kwantum Kripke frames wordt uitgebreid bestudeerd vanuit een meetkundig standpunt. Van daaruit bewijs ik een stellling die kwantum Kripke frames representeert door algemene Hilbert ruimtes. Bovendien bepaal ik de essentiële kenmerken van kwantum Kripke frames die worden gerepresenteerd door Hilbert ruimtes over de complexe getallen. Deze stelling suggereert dat kwantum Kripke frames gebruikt kunnen worden om kwantumsystemen te modelleren. Tegelijkertijd wordt in mijn analyse aangetoond dat verschillende projectieve meetkundes eigenlijk vermomde Kripke frames zijn. 

Verschillende operatoren op Hilbert ruimtes zijn essentieel voor het formaliseren van de kwantumtheorie, dus functies tussen kwantum Kripke frames zijn het bestuderen waard. Dit wordt gedaan in hoofdstuk 3. Ik definieer continue homomorfismen tussen kwantum Kripke frames en bewijs dat deze worden gerepresenteerd door continue quasi-lineaire functies. Ik definieer drie speciale continue homomorfismen die overeenkomen met projecties, unitaire, en Hermitische operatoren op Hilbert ruimtes. Ik bestudeer hun eigenschappen vanuit het perspectief van de non-orthogonaliteitsrelatie. Verder geef ik condities waaronder twee kwantum Kripke frames kunnen worden samengevoegd tot \'{e}\'{e}n, wat de tegenhanger is van het tensor product van Hilbert ruimtes. Een vereiste voor dit resultaat is een karakterisering van endomorfismen op een Pappiaanse projectieve meetkunde voortgebracht door lineaire functies. Deze karakterisering geeft een oplossing voor een speciaal geval van een open probleem in de projectieve meetkunde.

Hoofdstuk 4 gaat over geautomatiseerd logisch redeneren over kwantum Kripke frames. Ik geef een beslisbare, correcte en sterk volledige axiomatisering in de modale logica voor toestandsruimtes en toestandsruimtes met superposities. Deze structuren zijn algemener dan kwantum Kripke frames. Ik bewijs dat de eerste-orde theorie van kwantum Kripke frames onbeslisbaar is. Daarnaast geef ik een karakterisering van eerste-orde definieerbare, dubbel-orthogonaal gesloten deelverzamelingen van een speciaal soort kwantum Kripke frames, waaronder de frames die worden voortgebracht  door Hilbert ruimtes. Deze karakterisering suggereert dat deze frames eindig axiomatiseerbaar zijn. De resultaten in dit hoofdstuk laten zien dat een adequate formele taal voor geautomatiseerd redeneren over kwantum Kripke frames een deeltaal is van de eerste-orde logica. 

Hoofdstuk 5 is een voorstudie naar de kansen van toestandsveranderingen in kwantum systemen. Dit leidt tot een kwantitatieve, meer precieze versie van de non-orthogonaliteitsrelatie. Een probabilistisch kwantum Kripke frame is een kwantum Kripke frame waarin ieder paar van toestanden een kans tussen de 0 en 1 krijgt toegeschreven. De verdeling van deze kansen weerspiegelt eigenschappen van daadwerkelijke kansverdelingen in de kwantumtheorie. Ik laat zien dat in een probabilistisch kwantum Kripke frame ieder element wordt voortgebracht door een kwantum kansverdeling op de meest voor de hand liggende manier. Ik identificeer ook een kenmerkende eigenschap van de non-orthogonaliteitsrelatie in probabilistische kwantum Kripke frames. Daarnaast definieer ik probabilistische kwantum transitieruimtes met de veranderingskansen als basis. Ik laat zien dat deze ruimtes equivalent zijn met probabilistische kwantum Kripke frames. Aldus laat dit hoofdstuk zien dat probabilistische kwantum Kripke frames of probabilistische kwantum transitieruimtes wellicht nuttig gebruikt kunnen worden om kwantum systemen kwantitatief te modelleren.