Correspondence and Canonicity in Non-Classical Logic
Sumit Sourabh

Samenvatting:

In dit proefschrift bestuderen we correspondentie en canoniciteit in de niet-klassieke logica, middels het gebruik van algebraïsche en orde-topologische methoden. Correspondentietheorie beoogt te beantwoorden op welke wijze modale, eerste- en tweede-orde talen met elkaar interacteren en overlappen in hun gezamenlijke semantische omgeving. Dit proefschrift betreft Sahlqvist correspondentietheorie, een lijn van onderzoek in correspondentietheorie die oorspronkelijk ontwikkeld is voor klassieke modale logica, en een systematische vertaling geeft tussen klassieke modale logica en eerste-orde logica.

Modale talen die geïnterpreteerd worden over relationele structuren, zijn expressieve fragmenten van tweede-orde logica. Het beroemde Sahlqvist-van-Benthem algoritme, de hoeksteen van de correspondentietheorie, stelt echter dat voor iedere formule in een grote syntactische klasse van modale formules  genaamd Sahlqvist formules, de correspondent in feite een eerste-orde zin is. Deze correspondent kan bovendien efficiënt berekend worden. Canoniciteit is nauw verwant aan correspondentie, en garandeert dat logica's die geaxiomatiseerd zijn door deze formules semantisch volledig zijn met betrekking tot eerste-orde definieerbare klasses van relationele structuren.

Het eerste gedeelte van dit proefschrift richt zich op algebraïsche methoden voor correspondentie en canoniciteit. In Hoofdstuk 3 presenteren we een algebraïsche aanpak voor Sahlqvist-type correspondentie resultaten door de klassieke Sahlqvist correspondentie stelling te bewijzen voor modale logica in de algebraïsche setting van complexe algebra's. In de algebraische setting kunnen reductie strategieën om tweede-orde variabelen te elimineren volledig in theoretische termen geformuleerd worden.  De orde-theoretische condities die de toepasbaarheid van deze strategieën garanderen, leiden ook tot een positieve karakterizering van Sahlqvist en inductieve formules voor verschillende signaturen. Conradie en Palmigiano ontwikkelden een Ackermann Lemma Based Algorithm (ALBA) voor distributieve modale logica, gebasseerd op een algebraïsche analyse van de correspondentietheorie. In Hoofdstuk 4 en 5, respectievelijk, breiden we het ALBA algoritme uit naar de reguliere modale logica (modale logica met niet-normale modaliteiten) en de intuïtionistische modale mu-calculus. Ook geven we een syntactische definitie van de klasse van inductieve ongelijkheden in deze talen en laten we zien dat het ALBA algoritme werkt op deze ongelijkheden. In Hoofdstuk 6 ontwikkelen we een versie van ALBA voor distributieve tralie uitbreidingen (DLEs), waarmee we de canoniciteit bewijzen van zekere syntactisch gedefinieerde klasses van DLE-ongelijkheden (de meta-inductieve ongelijkheden) met betrekking tot de structuren waarin de formules die de additiviteit van bepaalde gegeven termen beweren geldig zijn.

Het tweede gedeelte van het proefschrift richt zich op orde-topologische methoden. In Hoofdstuk 7 introduceren we het concept van een subordinatie van een Boolese algebra en ontwikkelen we een categoriale dualiteit tussen Boolese algebra's met een subordinatie en Stone ruimtes met een gesloten relatie. We breiden deze dualiteit uit om te laten zien dat de categorie van de Vries algebra's dual is aan de categorie van Gleason ruimtes: extreem onsamenhangende ruimtes met een gesloten irreducibele equivalentierelatie. Hiermee geven we een alternatieve Jónsson-Tarski stijl dualiteit voor de de Vries dualiteit tussen compacte Hausdorff ruimtes en de Vries algebra's, wat een mogelijkheid biedt voor het ontwikkelen van een topologische correspondentie theorie en een logische calculus voor compacte Hausdorff ruimtes . In Hoofdstuk 8 bewijzen we een Sahlqvist correspondentie en canoniciteit stelling voor topologische dekpuntlogica in het geval van modaal compacte Hausdorff ruimtes. Dit is een generalisatie van het Sambin-Vaccaro bewijs voor de canoniciteit van de taal van positieve modale mu-calculus geïnterpreteerd over modale compacte Hausdorf ruimtes.