Fragments of Fixpoint Logics: Automata and Expressiveness Facundo Carreiro Samenvatting: Dit proefschrift, met de titel Fragmenten van Dekpuntlogica’s: Automaten en Expressiviteit, bestudeert de relatieve uitdrukkingskracht en de eigenschappen van een aantal dekpunt- en tweede orde-logica’s. De term dekpuntlogica wordt in dit manuscript in de brede zin gebruikt; er wordt mee gerefereerd aan iedere logica waarmee recursie, iteratie of repetitie kan worden uitgedrukt. Ons belangrijkste doel is om op systematische wijze verschillende belangrijke logica’s als precieze fragmenten van andere bekende logica’s te identificeren. Om deze taak te kunnen bewerkstelligen hebben we automaten-theoretische middelen ontwikkeld om deze fragmenten te kunnen analyseren. De resultaten van dit proefschrift geven nieuw inzicht in de relatie tussen dekpunt- en tweede-orde-logica en leveren verder bewijs voor de succesvolle samenhang van logica en automaten. In Hoofdstuk 3 definiëren en analyseren we fragmenten van zowel modale als eerste-orde-dekpuntlogica’s. Om deze fragmenten te definiëren gebruiken we hoofdzakelijk de methode van restrictie van de toepassing van de dekpuntoperator μp.φ (en zijn eerste-orde equivalent) op formules φ met een specifieke eigenschap. De voornaamste eigenschappen die we beschouwen zijn volledige additiviteit en continuïteit, maar ook andere syntactische restricties en hun effecten worden bestudeerd. Aan de modale kant geven we precieze en semantische karakteriseringen van PDL, Concurrent PDL en GL binnen de μ-calculus. Voor de kant van de eerste-orde geven we een analoge karakterisering van FO(TC^1) binnen FO(LFP^1). In Hoofdstuk 4 introduceren we verschillende subklassen van pariteitsautomaten en bespreken we de intuïties en motivaties voor deze definities. De subklassen zijn geïnspireerd op de fragmenten van Hoofdstuk 3 en proberen een parallel te vinden –aan de kant van de automaat– voor de beperkingen van additiviteit en continuïteit van de syntactische fragmenten. In het laatste deel van dit hoofdstuk introduceren we een algemene techniek (te danken aan Janin [Jan06]) om pariteitsautomaten in een boomvorm te verkrijgen. Deze structuur heeft het voordeel dat zij een “bijna (dekpunt) formule” is en daardoor makkelijker te vertalen is naar een passende dekpuntlogica. Als afsluiting introduceren we andere mogelijke equivalente definities van pariteitsautomaten (d.w.z. modale, eerste-orde, chromatische en achromatische) en bespreken we de voor- en nadelen van elk van deze perspectieven. Een van de voordelen van de automaten-aanpak voor dekpuntlogica’s is dat hun complexiteit onderverdeeld kan worden in twee simpelere en duidelijk gedefinieerde delen: een graafstructuur die de repetities (d.w.z. de toestanden van de automaat) representeert en een afbeelding van de transitie met een simpele één-stap-logica. In Hoofdstuk 5 zal de nadruk liggen op dit laatste deel. We introduceren de één-stap-logica’s die in dit proefschrift gebruikt zullen worden en vervolgen met uitdieping van deze logica’s. Ons streven is om normale vormen te kunnen geven en om een aantal fragmenten van deze logica’s (continu, volledig additief, etc.) te kunnen karakteriseren. De resultaten van deze analyse zullen cruciaal zijn voor de volgende hoofdstukken, waarin we gebaseerd op deze talen de eigenschappen van automaten bewijzen. In Hoofdstuk 6 geven we automaten-karakteriseringen voor een aantal modale logica’s. De resultaten van dit hoofdstuk worden verkregen door het gebruik van pariteitsautomaten gebaseerd op modale één-stap-logica’s. We laten zien dat (1) test-free PDL en volledig PDL corresponderen met concrete klassen van additief-zwakke pariteitsautomaten; en (2) de continue restrictie van μ-calculus correspondeert met een concrete klasse van continu-zwakke pariteitsautomaten. Deze resultaten worden verkregen door effectieve transformaties van formules naar automaten en vice-versa. In Hoofdstuk 7 geven we een automaten-karakterisering voor WMSO (zwakke monadische tweede-orde-logica) en WCL (zwakke kettinglogica), voor de klasse van boommodellen. In dit geval gebruiken we pariteitsautomaten gebaseerd op (uitbreidingen van) eerste-orde-logica (met identiteit). De belangrijkste uitdaging van dit hoofdstuk is om simulatie- en projectiestellingen te geven voor de klassen van continu-zwakke en additief-zwakke pariteitsautomaten. Een bijproduct hiervan is dat we karakteriseringen voor de genoemde automaten (en tweede-orde-logica’s) als fragmenten van dekpuntlogica’s verkrijgen. In Hoofdstuk 8 gebruiken we de middelen die in de voorgaande hoofdstukken ontwikkeld zijn om nieuwe bisimulatie-invariantie resultaten te bewijzen. We bewijzen namelijk dat het bisimulatie-invariante fragment van WCL PDL is, en dat het bisimulatie-invariante fragment van WMSO equivalent is aan de continue restrictie van de µ-calculus.