Evidence in Epistemic Logic: A Topological Perspective
Aybüke Özgün

Samenvatting:

Dit proefschrift gaat over logica's van kennis, geloof en informatieverandering in topologische ruimtes. Wij onderzoeken de formele representatie van bewijsmateriaal/aanwijzingen in relatie tot rechtvaardiging, gerechtvaardigd geloof, kennis, en gemotiveerde informatieverandering. Topologische ruimtes zijn geschikt om deze epistemische noties te formaliseren vanwege de wiskundige elegantie en epistemisch rijke gegevensstructuren. We vervolgen nu met een overzicht van de inhoud van het proefschrift.

Deel I onderzoekt de rol van bewijsmateriaal bij het vormen van gefundeerd geloof en kennis door een rationeel handelende persoon. Bewijsmateriaal wordt semantisch gerepresenteerd als een verzameling van mogelijke werelden en syntactisch door middel van zogenaamde bewijsmodaliteiten in de logische taal.

Hoofdstuk 3 geeft een overzicht van de achtergrondliteratuur en motiveert Deel I. Het definiëert voor de taal van de modale logica een topologische semantiek die derhalve is gebaseerd op open deelverzamelingen, met het oog op epistemische interpretaties. In dit hoofdstuk wordt het gebruik van topologische ruimtes voor de modellering van kennis toegelicht, en bovendien geeft het een gedetailleerd overzicht van bekende resultaten uit de literatuur over het gebruik van topologische ruimtes voor het modelleren van geloof.

Hoofdstuk 4 gaat voornamelijk over een topologische interpretatie van de notie `geloof': wat kunnen topologische modellen doen voor de semantiek van reeds bestaande epistemische en doxastische logica's? Met name onderzoeken we de notie van geloof als mogelijke kennis, waarvan de sematiek is afgeleid van de op open deelverzamelingen gebaseerde semantiek voor kennis uit hoofdstuk 3. We tonen correctheid en volledigheid aan voor de logica KD45_B geïnterpreteerd op zekere topologische modelklassen, namelijk de zogenaamde onvergelijkbare ruimtes en de erfelijk-onvergelijkbare gescheiden ruimtes. Een uitbreiding van de logica met openbare aankondigingen voor de laatste van deze twee modelklassen wordt ook onderzocht. Het begrip bewijsvoering wordt beschreven op een puur semantisch niveau, omdat de logische taal hier geen operatoren voor bevat.

Hoofdstuk 5 is de belangrijkste bijdrage van Deel I van het proefschrift. Het geeft een topologische semantiek voor de begrippen  bewijsvoering, gemotiveerde verantwoording, geloof, en kennis, inclusief verbanden tussen al deze epistemische begrippen. De bijbehorende logische taal heeft nu wel modaliteiten voor bewijsvoering, zodat alle verschillende aan bewijsvoering geliëerde begrippen expliciet deel uitmaken van de logica. De resultaten in dit hoofdstuk blijven niet beperkt tot een statische situatie en we presenteren eveneens dynamische noties, namelijk acties zoals het toevoegen van bewijsvoering, het veranderen van de plausibiliteit van bewijsvoering, het combineren van bewijsvoering uit verschillende bronnen, en het verwerken van (onfeilbaar geachte) informatie uit openbare aankondigingen. De belangrijkste technische resultaten zijn de volledigheid, beslisbaarheid en eindige-modeleigenschap van de hiermee verbonden logica's. Deze resultaten zijn relevant voor de wijsbegeerte, omdat hiermee  noties van kennis en geloof zijn te formalizeren die zijn gebaseerd op de literatuur naar aanleiding van het werk van Gettier. 

Deel II gaat vooral over kennis en kennisverandering. Het onderzoekt de noties absoluut zekere kennis en leerbaarheid als mogelijke kennis, evenals de wisselwerking tussen de epistemische notie van inspanning (moeite) voor bewijsvergaring. Tevens komt het verband aan bod met uit de logische dynamiek welbekende begrippen als openbare aankondigingen and kwantificatie over dergelijke openbare aankondigingen.

Hoofdstuk 6 geeft het achtergrondmateriaal voor Deel II. Het definiëert de zogenaamde  deelverzamelingsruimte-semantiek en een topologische versie van de eerder genoemde openbare aankondigingen.

Hoofdstuk 7 presenteert een formeel raamwerk om de relatie te onderzoeken tussen de belangrijke dynamische noties inspanning, openbare aankondiging, en gekwantificeerde openbare aankondiging. De resultaten over het verband tussen inspanning en openbare aankondiging verduidelijken wat `inspanning' bij kennisvergaring eigenlijk betekent. De technische resultaten voor expressiviteit en volledigheid in dit hoofdstuk zijn eenvoudiger dan in eerder werk over deze materie en geven daar, in zekere zin, beter inzicht in.

In hoofdstuk 8 wordt de logica van hoofdstuk 7 die was geformuleerd voor een handelende persoon gegeneraliseerd naar een logica voor meerdere handelende personen. We presenteren nu een logica waarin de kennis en de leerbaarheid van meerdere personen wordt gemodelleerd, inclusief uitbreidigen hiervan met openbare aankondingen en kwantificatie daarover; steeds geïnterpreerd op topologische ruimtes. We tonen correctheid en volledigheid aan van deze logica's.

Wij concluderen dat dit proefschrift aan de ene kant verschillende bekende epistemische en doxastische logica's, inclusief dynamische uitbreidingen daarvan, herinterpreteert vanuit  topologisch perspectief en voorziet van een interpretatie van verschillende noties van bewijsvoering, terwijl aan de andere kant dit proefschrift topologische technieken gebruikt de verdere ontwikkeling en uitbreiding van bestaande logische analyses, resulterend in nieuwe logica's voor bewijsvoering en voor informatieverandering.