Games for functions: Baire classes, Weihrauch degrees, transfinite computations, and ranks
Hugo de Holanda Cunha Nobrega

Samenvatting:

Spelkarakteriseringen van functieklasses in de descriptieve verzamelingenleer vinden hun oorsprong in het werk van Wadge en werden verder ontwikkeld door onder andere Van Wesep, Andretta, Duparc, Motto Ros en Semmes. In dit proefschrift worden deze karakteriseringen vanuit verschillende perspectieven belicht.

We definieren aanpassingen van Semmes's spelkarakterisering van de Borel functies, om zo spelkarakteriseringen van de Baire klasse $\alpha$ functies voor elke $\alpha < \omega_1$ te verkrijgen. Sommige van deze resultaten zijn gelijktijdig bewezen door Louveau en Semmes in nog niet gepubliceerd werk. Ook definiëren we een constructie die een spelkarakterisering van een klasse $\Lambda$ omvormt tot een karakterisering van de klasse van functies die stuksgewijs $\Lambda$ zijn op een aftelbare deelpartitie bestaande uit $\Pi^0_\alpha$ verzamelingen, voor iedere $0 < \alpha < \omega_1$.

Vervolgens definiëren we met behulp van technieken uit de berekenbare analyse een geparametriseerde versie van het Wadge spel, en laten we zien hoe de parameterkeuze gebruikt kan worden om af te stellen welke functieklasse wordt gekarakteriseerde door het resulterende spel. Het proefschrift beschrijft een toepassing die de spelkarakterisering van de Baire klasses omvormt naar dit framework.

Verder wordt een generalisatie van de spelkarakterisering van functieklasses naar gegeneraliseerde Baire-ruimtes beschreven. We laten ook zien hoe de notie van berekenbaarheid kan worden uitgebreid naar gegeneraliseerde Baire-ruimtes, en tonen aan dat dit geschikt is voor een algemenere vorm van berekenbare analyse door een representatie van Galeotti's gegeneraliseerde reële lijn te definiëren en de Weihrauchgraad van de tussenwaardestelling in die ruimte te analyseren.

In het laatste gedeelte van dit proefschrift demonstreren we hoe uit de besproken spelkarakteriseringen van functieklasses op een natuurlijke wijze tot een hiërarchie leidt, die op een intuïtieve manier de complexiteit van de functies in de bijbehorende klasses aangeeft. Dit idee en de genoemde resultaten openen nieuwe wegen voor vervolgonderzoek.