Filtration Revisited: Lattices of Stable Non-Classical Logics
Julia Ilin

Abstract:
Het overkoepelende thema in dit proefschrift is de notie van stabiliteit in de context van superintuïtionistische (s.i.) logica’s en normale modale logica’s. Stabiliteit verwijst hier naar een klasse van (Kripke)frames of modellen die gesloten is onder relatiebewarende beelden. Een logica wordt stabiel genoemd als deze gekarakteriseerd wordt door een klasse van frames die gesloten is onder relatiebewarende beelden. Omdat de standaard filtratiemethode relatiebewarende beelden produceert, kan filtratie toegepast worden om de eindige-modeleigenschap (e.m.e.) van stabiele logica’s te bewijzen. Stabiele logica’s kunnen dus gezien worden als de “filtratie”-analoog van de bekende transitieve modale en s.i. subframelogica’s, welke de logica’s zijn waarvan de e.m.e. bewezen kan worden via selectieve filtratie.
In dit proefschrift onderzoeken we de klasse van stabiele modale logica’s en veralgemeniseringen naar M-stabiele logica’s. Daarnaast bestuderen we de relaties tussen stabiele logica’s in de modale en de intuïtionistische setting. Tot slot bekijken we stabiliteit in de context van dynamische (epistemische) logica. Als leidend voorbeeld in onze studie dienen vaak bekende eigenschappen van deelframelogica’s. Inderdaad is een centraal doel van dit proefschrift het verkennen van relaties tussen stabiele en deelframelogica’s door het identificeren van gedeelde eigenschappen en verschillen.
We beschrijven nu in detail de inhoud van de belangrijkste hoofdstukken. In Hoofdstuk 3 identificeren we cofinale stabiele s.i. logica’s als de stabiele analogen van cofinale s.i. deelframelogica’s, en bestuderen we eigenschappen van deze logica’s. Verder presenteren we een unificerend perspectief op H-stabiele s.i. logica’s, waar H een lokaal eindig reduct van Heytingalgebra’s is die subframe-, cofinale subframe-, en stabiele s.i. logica’s beslaat. In Hoofdstuk 4 breiden we onze studie uit naar stabiele modale logica’s. In het bijzonder onderzoeken we het gedrag van stabiliteit met betrekking tot modale metgezellen en intuïtionistische fragmenten. Ook verklaren we overeenkomsten en verschillen tussen stabiele en subframe modale logica’s. Hoofdstuk 5 behandelt canonieke formules vanuit een algebraïsch perspectief in de vorm van een bespreking en samenvatting van resultaten uit de literatuur. In Hoofdstuk 6 versterken we de parallellen tussen stabiele en subframe s.i. logica’s door deze te verbinden met modale operatoren op Heytingalgebra’s, namelijk de lakse modaliteit en de inwendige operator. In Hoofdstuk 7 werpen we een frisse blik op de klasse van NNIL-formules via stabiele afbeeldingen. In het bijzonder geven we volledige beschrijvingen van de n-universele modellen voor NNIL-formules. Ook geven we alternatieve bewijzen voor de bestaande resultaten dat logica’s die geaxiomatiseerd zijn door NNIL-formules de e.m.e. hebben en canoniek zijn. In Hoofdstuk 8, ten slotte, onderzoeken we stabiliteit in de context van dynamisch-epistemische logica. We behandelen beelden van modellen onder stabiele afbeeldingen als model-transformatieoperaties. Deze operaties leiden tot dynamische logica’s met abstractiemodaliteiten. We bewijzen volledigheidsresultaten voor deze logica’s via reductie. We leggen uit dat in sommige bijzondere gevallen deze logica’s gezien kunnen worden als filtratielogica’s.