Algebraïsche complexiteit, asymptotische spectra en verstrengelingspolytopen
Jeroen Zuiddam


Samenvatting:

Het is welbekend dat de rang van een matrix multiplicatief is onder het Kroneckerproduct, additief onder de directe som, genormaliseerd op identiteitsmatrices en niet-stijgend onder vermenigvuldiging van links en van rechts met matrices. Matrixrang is zelfs de enige reële parameter met deze vier eigenschappen. In 1986 initieerde Strassen de studie van de uitbreiding naar tensoren: vind alle afbeeldingen van k-tensoren naar de reële getallen die multiplicatief zijn onder het tensor Kroneckerproduct, additief onder de directe som, genormaliseerd op "identiteitstensoren", en niet-stijgend onder het toepassen van lineaire afbeeldingen op de k tensorfactoren. Strassen noemde de verzameling van deze afbeeldingen het "asymptotische spectrum van k-tensoren". Hij bewees: als we het asymptotische spectrum begrijpen, dan begrijpen we de asymptotische relaties tussen tensors, waaronder de asymptotische subrang en de asymptotische rang. In het bijzonder, als we het asymptotische spectrum kennen, dan kennen we de aritmetische complexiteit van matrixvermenigvuldiging, een centraal probleem in de algebraïsche complexiteitstheorie.

Een van de hoofdresultaten in dit proefschrift is de eerste expliciete constructie van een oneindige familie van elementen in het asymptotische spectrum van complexe k-tensoren, genaamd de quantumfunctionalen. Onze constructie is gebaseerd op informatietheorie en momentpolytopen, ook wel verstrengelingspolytopen genoemd. Daarnaast bestuderen we, onder andere, de relatie tussen de recent geïntroduceerde slice rang en de quantumfunctionalen en we bewijzen dat de "asymptotische" slice rang gelijk is aan het minimum over de quantumfunctionalen. Naast het bestuderen van de bovengenoemde tensorparameters, geven we een uitbreiding van de Coppersmith-Winograd-methode (voor het verkrijgen van ondergrenzen op de asymptotische combinatorische subrang) naar hogere-orde tensoren, d.w.z. tensoren van orde minstens 4. We passen deze uitbreiding toe om nieuwe bovengrenzen te krijgen op de asymptotische tensorrang van complete-graaftensoren via de lasermethode. (Gezamenlijk werk met Christandl en Vrana; QIP 2018, STOC 2018.)

Als een nieuwe toepassing van de abstracte theorie van asymptotische spectra, introduceren we het asymptotische spectrum van grafen in de grafentheorie. Analoog aan de situatie voor tensoren geldt: als we het asymptotisch spectrum van grafen begrijpen, dan begrijpen we de Shannoncapaciteit, een graafparameter die de zero-error-communicatiecomplexiteit van communicatiekanalen karakteriseert.  Met andere woorden: we bewijzen een nieuwe dualiteitsstelling voor de Shannoncapaciteit. Voorbeelden van elementen in het asymptotische spectrum van grafen zijn het thetagetal van Lovász en de fractionele Haemersgrenzen.

Tot slot bestuderen we een algebraïsch model van berekening genaamd algebraic branching programs. Een algebraic branching program (abp) is het spoor van een product van matrices met polynomen van graad hoogstens 1 als elementen. De maximale grootte van de matrices heet de breedte van de abp. In 1992 bewezen Ben-Or en Cleve dat elk polynoom berekend kan worden door een breedte-3 abp met een aantal matrices dat polynomiaal is in de formula size van het polynoom. Daarentegen bewezen Allender en Wang in 2011 dat sommige polynomen niet berekend kunnen worden door breedte-2 abps. Wij bewijzen dat elk polynoom benaderd kan worden door een breedte-2 abp met een aantal matrices dat polynomiaal is in de formula size van het polynoom, waarbij benadering wordt bedoeld in de zin van degeneration.
(Gezamenlijk werk met Ikenmeyer en Bringmann; CCC 2017, JACM 2018.)