Quantum Singular Value Transformation & Its Algorithmic Applications
András Gilyén

Abstract:

In dit proefschrift bestuderen we hoe efficiënt quantum computers verschillende problemen kunnen oplossen en de mate waarin dit sneller kan in vergelijking met klassieke computers. In het bijzonder ontwikkelen we een algemeen raamwerk voor quantum algoritmes dat we "quantum singulierewaardentransformatie" noemen, en we laten zien hoe dit een groot aantal prominente quantum algoritmes unificeert. Vervolgens laten we een aantal problemen zien waarbij dit raamwerk tot nieuwe quantum algoritmes of verbeteringen van bestaande algoritmes leidt.

In Hoofdstuk 2 ontwikkelen we een nieuw quantum algoritme voor de singulierewaardentransformatie dat overweg kan met exponentieel grote matrices en dat polynomiale transformaties kan toepassen op de singuliere waarden van een blok van een unitaire matrix. De voorgestelde quantum circuits hebben een heel simpele structuur, geven vaak optimale algoritmes en hebben aantrekkelijke constante factoren, terwijl ze meestal maar een constant aantal ancilla qubits gebruiken. We bewijzen verschillende eigenschappen van de quantum singulierewaardentransformatie waaronder haar robuustheid.

In Hoofdstuk 3 laten we zien hoe de quantum singulierewaardentransformatie tot nieuwe algoritmes leidt. We stellen een nieuwe methode voor om singuliere waarden te benaderen en we behalen exponentiële verbeteringen in de complexiteit van het implementeren van fractionele queries aan unitairen met een gapped spectrum. Als toepassing voor quantum machine learning geven we ten slotte een efficiënte implementatie van principale-componentenregressie. We laten ook zien dat de quantum singulierewaardentransformatie leidt tot een geünificeerd raamwerk van quantum algoritmes waar verscheidene quantum versnellingen bij zitten. Met dit raamwerk kunnen we veel quantum algoritmes op een hoog niveau beschrijven en daarmee zelfs toegankelijk maken voor onderzoekers buiten de quantum algoritmes gemeenschap. We illustreren dit door een aantal prominente quantum algoritmes te generaliseren in ons raamwerk en leiden kort de volgende algoritmes af: optimale simulatie van Hamiltonianen, impementatie van de Moore-Penrose pseudoinverse (d.w.z.\ het HHL algoritme) met exponentiële precisie, de zogeheten "fixed-point amplitude amplification", robuuste "oblivious amplitude amplification", snelle QMA amplificatie, het snelle quantum OR lemma, bepaalde quantum walk resultaten en een aantal quantum machine learning algoritmes. Om de methode volledig te benutten is het ook waardevol om de beperkingen te kennen en daarom bewijzen we ook een grens op de efficiëntie van de quantum singulierewaardentransformatie, die vaak optimale ondergrenzen geeft.

In Hoofdstuk 4 ontwikkelen we een verbeterd quantum algoritme om de gradiënt van een multivariate reëelwaardige functie f : R^d → R  te berekenen door deze hooguit op een logaritmisch aantal punten te evalueren in superpositie. Ons algoritme is een verbeterde versie van Jordans algoritme [Jor05] en geeft een benadering van de gradiënt ∇f met kwadratisch betere afhankelijkheid van de evaluatienauwkeurigheid van f, voor een belangrijke klasse van gladde functies. Verder laten we zien dat de meeste doelfuncties die voortkomen uit een klasse quantum optimalisatieprocedures voldoen aan de benodigde gladheidseigenschappen. Hierdoor verbetert ons algoritme de looptijd van bestaande algoritmes voor het trainen van zogeheten quantum auto-encoders, variationele quantum eigensolvers (VQE) en quantum approximate optimization algorithms (QAOA). Ten slotte bewijzen we dat in een continu fase-query model ons algoritme een optimale query complexiteit heeft voor een klasse van gladde functies. Voor onze ondergrens leiden we een continue invoer versie af van de zogeheten hybride methode.

In Hoofdstuk 5 onderzoeken we in hoeverre quantum algoritmes het oplossen van convexe optimalisatie problemen kunnen versnellen. Net als in de klassieke literatuur beschouwen we verschillende manieren van toegang tot de convexe verzameling (zogeheten oracles), en we bestuderen de efficiëntie van de reducties tussen de verschillende oracles.  In het bijzonder laten we zien hoe een "separatie oracle" kan worden geïmplementeerd met ~O(1) quantum queries naar een "membership oracle", wat een exponentiële verbetering is ten opzichte van de Ω(n) queries die klassiek nodig zijn. We laten zien dat een quantum computer heel efficiënt een benadering kan uitrekenen van een subgradiënt van een convexe Lipschitz functie. Dit combineren we met een versimpelde versie van het recente klassieke resultaat van Lee, Sidford, en Vempala [LSV18] om efficiënt een separatie oracle te krijgen. Vervolgens impliceert dit, via een bekend algoritme, dat ~O(n) quantum queries aan een membership oracle voldoende zijn om een optimalisatie oracle te implementeren (de best bekende klassieke bovengrens op het aantal membership queries is kwadratisch). We bewijzen ook verschillende ondergrenzen: Ω(√n) quantum separatie (of membership) queries zijn nodig voor optimalisatie als het algoritme een intern punt van de convexe verzameling weet, en Ω(n) quantum separatie queries zijn nodig als dat niet zo is.

In Hoofdstuk 6 geven we een nieuwe kijk op quantum algoritmes voor het oplossen van SDPs. We introduceren verschillende nieuwe technieken en verbeteren voorgaande quantum algoritmes voor het oplossen van SDPs. Ons nieuwe invoermodel generaliseert alle voorgaande modellen en berust op de aanname dat de invoer matrices als blok-codering worden gegeven. In dit model geven we een ~O((√m+γ√n)αγ^4) algoritme, waarbij n de grootte van de matrices is, m het aantal randvoorwaarden, γ is de reciproke van de schaal-invariante precisieparameter, en α is een normalisatiefactor van de invoermatrices. In het bijzonder, voor het standaard sparse-matrixtoegangsmodel geeft het genoemde resultaat een quantum algoritme waar α gelijk is aan de zogeheten sparsity s. We geven ook een verbetering van een recent resultaat van Brandão et al. [BKL+18], die een speciaal geval bekijken waar de invoermatrices proportioneel zijn aan quantum dichtheidsmatrices. Voor dit model laten Brandão et al. [BKL+18] zien dat de afhankelijkheid van n vervangen kan worden door een polynomiale afhankelijkheid van de rang en het spoor van de invoermatrices. Ons resultaat haalt de afhankelijkheid van de rang weg en we houden alleen afhankelijkheid van het spoor over. We laten ook een toepassing zien voor het probleem van schaduwtomografie, recent geïntroduceerd door Aaronson [Aar18]. Ten slotte bewijzen we een nieuwe ~Ω(αγ√m) ondergrens voor het oplossen van LPs en SDPs in het quantum operator model, wat ook een ondergrens impliceert voor het model van Brandão et al. [BKL+18].

In Hoofdstuk 7 bestuderen we constructieve versies van het Lovász Local Lemma (LLL) en de quantum generalisatie ervan. Het quantum Lovász Local Lemma kan worden geformuleerd in termen van zogeheten frustratievrije lokale Hamiltonianen. Deze Hamiltonianen hebben de eigenschap dat hun grondtoestand de energie van alle lokale termen tegelijk minimaliseert. We verbeteren de voorgaande constructieve quantum resultaten door een algoritme te ontwikkelen dat ook efficiënt met termen kan omgaan die niet commuteren, onder de aanname dat het systeem "uniformly gapped" is. Dit betekent dat het systeem en alle deelsystemen een energiekloof hebben die ten minste invers-polynomiaal groot is. We generaliseren en versimpelen Mosers klassieke "compressie-argument" en leiden een niet-commutatieve quantum versie af van het bekende Moser-Tardos resampling algoritme. Ten slotte, in de zogeheten variabele versie van het klassieke LLL verkrijgen we optimale grenzen voor de kansen op cyclische afhankelijkheidsgrafen die een oplossing garanderen, en we laten zien dat dit gebied altijd strikt groter is dan in het algemene niet-variabele geval, waar de grens van Shearer optimaal is. Dit laat vervolgens een scheiding zien tussen de variabele versie van het klassieke en quantum LLL.