Cuts and Completions
Algebraic aspects of structural proof theory
Frederik Möllerström Lauridsen

Samenvatting:

In dit proefschrift, met de titel Snede en Completeringen: Algebraïsche aspecten van structurele bewijstheorie, kijken we naar verschillende aspecten van het samenspel tussen structurele bewijstheorie en algebraïsche semantiek voor verschillende niet-klassieke propositionele logica's. We verkennen verbanden tussen bewijstheorie en algebra zoals ze betrekking hebben op structurele sequenten en hypersequenten calculi voor intermediaire and substructurele logica's. Deze verdanden zijn in het bijzonder sterk voor logica's die worden geassocieerd met de niveaus P_3 en N_2 van de substructurele hiërarchie van Ciabattoni, Galatos en Terui. Daarom onderzoeken we verschillende algebraïsche aspecten van deze twee niveaus, waarbij completeringen van tralies and tralie-algebra's een prominente rol spelen.

Hoofdstuk 2 gaat over de kwestie welke intermediaire logica's een structurele hypersequenten calculus toelaten. Deze vraag wordt beantwoord door de notie van (∧, 0, 1)-stabiele logica's te introduceren, welke een versterking is van de notie van (∧, ∨, 0, 1)-stabiele logica's, geïntroduceerd door Guram en Nick Bezhanishvili. We laten zien dat de (∧, 0, 1)-stabiele logica's precies de intermediaire logica's zijn die een structurele hypersequenten calculus toelaten. We onderzoeken deze logica's verder op zichzelf en laten zien, in het bijzonder, dat ze correct en volledig zijn ten opzichte van een eerste-orde definieerbare klasse van partieel geordende verzamelingen.

In Hoofdstuk 3 introduceren we verschillende noties van MacNeille en canonieke overdraagbaarheid voor eindige tralies, analoog aan Grätzers notie van ideaal-overdraagbaarheid.
We demonstreren hoe eindige overdraagbare tralies leiden tot universele klasses van tralies gesloten onder completeringen. We concentreren ons hoofdzakelijk op het leveren van de noodzakelijke of voldoende voorwaarden voor een eindig distributief tralie om MacNeille overdraagbaar tralie voor verschillende klasses van Heytingalgebra's te zijn. Als laatste bespreken we hoe MacNeille en canonieke overdraagbaarheid van eindige distributieve tralies gerelateerd zijn aan het probleem van het bepalen van de elementairheid en canonicteit van (∧, ∨, 0, 1)-stabiele logica's.

Hoofdstuk 4 bevat een verkenning van het concept hyper-MacNeille completering, geïntroduceerd door Ciabattoni, Galatos en Terui, zoals het van toepassing is in de context van Heytingalgebra's. We isoleren de notie van een De Morgan gesupplementeerde Heytingalgebra als centraal voor het begrip van de hyper-MacNeille completeringen van Heytingalgebra's. We laten zien dat de MacNeille en hyper-MacNeille completeringen overeenkomen voor De Morgan gesupplementeerde Heytingalgebra's. Verder laten we zien dat de hyper-MacNeille completering van een Heytingalgebra de MacNeille completering van een De Morgan gesupplementeerde Heytingalgebra is. Als laatste geven we noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor de hyper-MacNeille completering van een Heytingalgebra om een reguliere completering te zijn.

Uiteindelijk stellen we, in Hoofdstuk 5, een eigenschap vast, in de stijl van Glivenko, voor de variëteit van integraal gesloten geresidueerde tralies in relatie tot de variëteit van tralie-groepen. Dit wordt gebruikt voor een niet-standaard sequenten calculus voor de equationele theorie van integraal gesloten geresidueerde tralies. Met deze calculus bewijzen we de beslisbaarheid van de equationele theorie van integraal gesloten geresidueerde tralies. Ten slotte vergelijken we de equationele theorie van integraal gesloten geresidueerde tralies met de equationele theorieën van pseudo BCI-algebras, semi-integrale geresidueerde partieel geordende monoïden en algebras voor Casaris comparatieve logica.