Questions & Quantification: A study of first order inquisitive logic
Gianluca Grilletti

Samenvatting:

Deze dissertatie focust op de studie van inquisitieve eerste-ordelogica, een logisch formalisme dat vragen in de aanwezigheid van kwantificatie omvat, ontwikkeld met als doel het aanwenden van vragen in formele gevolgtrekkingen en het bestuderen van hun logische eigenschappen. In het bijzonder focussen we op het ontwikkelen van gereedschappen en technieken voor het bestuderen van de uitdrukkingskracht van inquisitieve eerste-ordelogica en de eigenschappen van haar logisch gevolg. De dissertatie bestaat uit vier delen, die elk een andere aanpak om de logica te bestuderen beschouwen.

In het eerste deel, bestaande uit hoofdstukken 4 en 5, maken we een gereedschap uit het gebied van modeltheorie geschikt voor inquisitieve eerste-ordelogica: Ehrenfeucht-Fraïssé-spellen. We laten zien dat de techniek van Ehrenfeucht-Fraïssé-spellen zich laat aanpassen aan deze context en dat het ons kan laten detecteren wanneer twee inquisitieve modellen niet te onderscheiden zijn door formules van een bepaalde complexiteit. Het ontwikkelde spel is vrij flexibel en kan aangepast worden om andere eigenschappen dan logische equivalentie te vatten, bijvoorbeeld de submodelrelatie. Door middel van het spel kunnen we kenschetsen welke kardinaliteitskwantoren definieerbaar zijn in inquisitieve eerste-ordelogica, waarmee we het resultaat voor klassieke logica generaliseren naar dit expressievere systeem.

Het tweede deel, bestaande uit hoofdstuk 6, neemt een andere stap in de modeltheoretische richting en presenteert verscheidene manieren om de modellen van inquisitieve eerste-ordelogica te manipuleren en combineren. De ontwikkelde theorie stelt ons in staat om te bewijzen dat twee belangrijke kenmerken van constructieve logica’s ook van toepassing zijn op inquisitieve eerste-ordelogica: de disjunctie- en existentie-eigenschap. Het bewijs dat we geven is semantisch van aard: we ontwikkelen verscheidene constructies om inquisitieve modellen te combineren en transformeren, en gebruiken ze om de disjunctie- en existentie- eigenschap te bewijzen. Sommige van deze constructies zijn geinspireerd op bewerkingen van intuitionistische Kripke-frames (bijvoorbeeld disjuncte vereniging), terwijl andere gebaseerd zijn op constructies die typisch voor klassieke predikaten- logica zijn (bijvoorbeeld modellen van termen). Deze aanpak staat ons toe om ook algemenere resultaten te bewijzen: we defini ̈eren verscheidene klassen van theorieën waarvan de overeenkomstige gevolgrelaties de disjunctie- en/of de existentie- eigenschap hebben.

In het derde deel, bestaande uit hoofdstukken 7 en 8, verleggen we onze aandacht naar het axiomatiseringsprobleem. Op dit moment is het niet bekend of inquisitieve eerste-ordelogica axiomatiseerbaar is. We behandelen een beperkte versie van het axiomatiseringsprobleem, dat wil zeggen, we axiomatiseren fragmenten en variaties van de logica. Hoofdstuk 7 focust op het klassieke-antecedentfragment, dat intuitief gekenschetst kan worden als het fragment waarin vragen niet toegestaan zijn in het antecedent van een implicatie. Dit fragment is in het bijzonder interessant omdat het—modulo logische equivalentie—alle formules bevat die overeenkomen met zinnen uit de natuurlijke taal. We bewijzen dat het systeem van natuurlijke deductie zoals voorgesteld in [Ciardelli, 2016, Section 4.6], beperkt tot het klassieke-antecedentfragment, een correcte en sterk volledige axiomatisering biedt. Hoofdstuk 8 focust op het eindige-breedte inquisitieve logica’s en op het begrensde-breedtefragment.

Eindige-breedte inquisitieve logica’s zijn geïntroduceerd door Sano [2011] als een hiërarchie die nauw verwant is aan inquisitieve eerste-ordelogica. Sano axiomatiseerde één van deze logica’s en liet twee vragen open: of de andere elementen van de hiërarchie axiomatiseerbaar zijn, en of inquisitieve eerste-ordelogica de limiet van deze hiërarchie is. We geven een positief antwoord op de eerste en een negatief antwoord op de laatste vraag. Hoofdstuk 8 behandelt ook het begrensdebreedtefragment, dat gekenmerkt wordt door de volgende eigenschap: als een formule van het fragment niet ondersteund wordt in een informatiestaat s, dan bestaat er een eindige deelverzameling van s die de formule ook niet ondersteunt. Deze nogal eigenaardige eigenschap staat ons toe om verscheidene interessante resultaten voor het fragment af te leiden (bijvoorbeeld dat validiteiten in het fragment recursief opsombaar zijn en dat de begrensde gevolgrelatie compact is), voortbouwend op het volledigheidsresultaat voor de eindige-breedte inquisitieve logica’s.

Het vierde deel, bestaande uit hoofdstuk 9, is een verkennend werk dat nog niet ontwikkeld is voor eerste-ordelogica, maar alleen voor propositionele logica: we presenteren een algebraïsche en een topologische semantiek voor inquisitieve propositionele logica. Een generalisatie van deze aanpak naar eerste-ordelogica zou een kostbaar hulpmiddel kunnen blijken te zijn voor het bestuderen van inquisitieve eerste-ordelogica vanuit nieuwe perspectieven, bijvoorbeeld met behulp van de methoden die worden gebruikt door Rasiowa en Sikorski [1950] of Görnemann [1971]. Aan de algebraïsche kant introduceren we een nieuwe semantiek, gebaseerd op Heyting-algebra’s, door de valuaties van propositionele atomen alleen te beperken tot reguliere elementen. Hieruit verkrijgen we een algebraïsche semantiek voor inquisitieve logica door de semantiek te beperken tot de klasse van inquisitieve Heyting-algebra’s. Aan de topologische kant passen we een door Bezhanishvili en Holliday [2020] ontwikkeld dualiteitsresultaat toe om inquisitieve algebra’s te karakteriseren in termen van hun duale topologische UV-ruimtes. Dit maakt het mogelijk om een topologische semantiek voor inquisitieve logica te definiëren die, voor zover de auteur weet, de eerste poging is om inquisitieve logica te bestuderen vanuit een topologisch perspectief.