Abstract and Concrete Type Theories
Taichi Uemura

Samenvatting:
In dit proefschrift bestuderen we zowel abstracte als concrete typentheorieën.  Naast een abstract begrip van een typentheorie om algemene resultaten in de semantiek van typentheorie te kunnen bewijzen, introduceren we ook een manier om een typentheorie syntactisch te presenteren. Dit laatste gebruiken we om een concrete typentheorie te kunnen bestuderen en daarvoor consistentie- en onafhankelijksresultaten te bewijzen.

In Hoofdstuk 3 ontwikkelen we een abstract begrip van een typentheorie. Met Awodey’s theorie van natuurlijke modellen van een typentheorie, waarin modellen van een typentheorie worden beschreven in termen van representeerbare afbeeldingen tussen discrete vezelingen, als uitgangspunt, geven we een abstracte definitie van een typentheorie als een categorie met representeerbare afbeeldingen. Een model van een typentheorie wordt dan gedefinïeerd als een structuurbehoudende functor naar een categorie van discrete vezelingen.

In Hoofdstuk 4 introduceren we “tweede-orde gegeneraliseerde algebraïsche theorieën”: deze geven een syntactische presentatie van een typentheorie en zijn geïnspireerd door een definitie van een algemene typentheorie afkomstig van Bauer, Haselwarter en Lumsdaine. Deze presentatie komt overeen met de traditionele presentatie van een typentheorie gegeven door een grammatica en afleidingsregels. We laten zien dat elke tweede-orde gegeneraliseerde algebraïsche theorie een typentheorie genereert met een passende universele eigenschap en dat, omgekeerd, elke typentheorie wordt voortgebracht door een tweede-orde gegeneraliseerde algebraïsche theorie.

In Hoofdstuk 5 ontwikkelen we de semantiek van typentheorie gebaseerd op de definities die we in Hoofdstuk 3 hebben ingevoerd. Opmerkelijk genoeg kunnen de resultaten in dit hoofdstuk zuiver categorisch worden bewezen en wordt nergens gebruik gemaakt van de syntactische presentatie die we in Hoofdstuk 4 hebben geïntroduceerd. Het belangrijkste resultaat is dat er voor elke typentheorie een correspondentie bestaat tussen theorieën en modellen van die typentheorie. Dit resultaat geeft een formele rechtvaardiging voor het gebruik van de interne taal van een model van een typentheorie.

De definitie van een typentheorie als een categorie met extra structuur stelt ons in staat om hoger-dimensionale generalisaties te definiëren. In Hoofdstuk 6 bestuderen we ∞-typentheorieën, de (∞, 1)-categorische generalisatie van een typentheorie. ∞-typentheorieën blijken een nuttig hulpmiddel te zijn om die coherentieproblemen te begrijpen en aan te pakken die ontstaan in de (hogere) categorische semantiek van typentheorie. We laten zien dat zogeheten niet-gespleten modellen van een typentheorie op een natuurlijke manier als modellen van een ∞-typentheorie kunnen worden opgevat en dat coherentieproblemen in de (hogerdimensionale) categorische semantiek kunnen worden geformuleerd in de taal van de ∞-typentheorieën en aanverwante begrippen. We passen dit toe door een bewijs te schetsen van een vermoeden van Kapulkin en Lumsdaine dat zegt dat typentheorie met intensionele identiteitstypen een interne taal is voor (∞, 1)categorieën met eindige limieten.

Vanaf Hoofdstuk 7 richten we onze aandacht op een concrete typentheorie, namelijk univalente typentheorie. Deze typentheorie kan worden gepresenteerd als een tweede-orde gegeneraliseerde algebraïsche theorie en daarmee als een typentheorie in de zin van Hoofdstuk 3. Hoofdstuk 7 is voor het grootste gedeelte gewijd aan het herformuleren van de interne constructie van modellen van een univalente typentheorie gegeven door Orton en Pitts en Licata et al. in termen van ons begrip van een model van een typentheorie.

Tenslotte bestuderen we in Hoofdstuk 8 concrete modellen van univalente typentheorie. Door de constructie uit Hoofdstuk 7 toe te passen op het assembly model van extensionele typentheorie krijgen we het cubical assembly model, een model van univalente typentheorie. We gebruiken dit cubical assembly model om consistentie- en onafhankelijkheidsresultaten te bewijzen. We laten zien dat het cubical assembly model een univalent en impredicatief universum bevat en dat het univalentie-axioma daarom consistent is met het bestaan van een impredicatief universum. Dit impredicatieve universum voldoet niet aan het “propositional resizing axiom” in dat we in het cubical assembly model een propositie kunnen construeren dat niet equivalent is aan een propositie in het impredicatieve universum. Dit laat zien dat het “propositional resizing axiom” niet bewijsbaar is in de univalente typentheorie. Verder bestuderen we de relatie tussen het cubical assembly model en Constructieve Recursieve Wiskunde. We laten zien dat het cubical assembly model aan het Principe van Markov voldoet, maar niet aan de These van Church. Door gebruik te maken van de theorie van modaliteiten in de homotopietypentheorie die door Rijke, Shulman en Spitters is ontwikkeld, kunnen we een reflectief deeluniversum van het cubical assembly model construeren waarin zowel het Principe van Markov als de These van Church gelden. Daarmee laten we zien dat deze principes van de Constructieve Recursieve Wiskunde consistent zijn met univalente typentheorie.