Sums, Numbers and Infinity: Collections in Bolzano’s Mathematics and Philosophy
Anna Bellomo

Samenvatting:
Dit proefschrift bevat een reeks studies over de 19e eeuwse filosofie van de wiskunde. De essays zijn met elkaar verbonden door twee rode draden: Bolzano's theorie van collecties enerzijds en de opkomst van moderne verzamelingen en analyse in de 19e eeuw anderzijds. Bolzano wordt vaak genoemd als een belangrijke figuur voor beide ontwikkelingen, maar soms wordt de schijnbare overeenkomst tussen zijn bijdragen en die van andere denkers niet voldoende onderzocht. Een groot deel van dit proefschrift biedt nieuwe interpretaties van belangrijke aspecten van Bolzano's geschriften om een historisch accurate en technisch verantwoorde herwaardering te geven van Bolzano's bijdrage aan de wiskunde en haar filosofie. Dit gebeurt in Bolzano's eigen termen, verkregen door zorgvuldige tekstuele analyse en wiskundig peilen. Dit is van toepassing op de kernbegrippen van collecties, natuurlijke getallen, meetbare (d.w.z. reële) getallen en oneindigheid.

In hoofdstuk 2 wordt het meest ingegaan op Bolzano's theorie van collecties. Bolzano gebruikt verschillende begrippen van collectie: onder andere collectie in het algemeen (Inbegriff), Reihe, Menge en Vielheit. In het algemeen heeft de manier waarop hij zich in zijn wiskunde op Mengen beroept andere geleerden ertoe  aangezet deze te interpreteren als volledig gelijkwaardig aan de verzamelingen van de verzamelingenleer. In hoofdstuk 2 wordt betoogd dat Bolzano's Mengen echter duidelijk verschillen van verzamelingen. Dit om twee redenen: ten eerste zijn ze niet extensioneel in de zin van het extensionaliteitsaxioma (hoewel Vielheiten, een speciaal soort Mengen, dat wel zijn) en ten tweede spelen ze niet dezelfde funderende rol als verzamelingen. Uiteindelijk is dit verschil in functie onoverkomelijk, want het vloeit voort uit het feit dat Bolzano het begrip structuur niet extensionaliseert, terwijl dat nu juist de conceptuele winst is die de verzamelingenleer toekent en die de funderende toepassingen van verzamelingen mogelijk maakt.

Hoofdstuk 3 is het eerste van de hoofdstukken die handelen over de wiskundige objecten van Bolzano. We beginnen met het meest elementaire van die objecten, namelijk de natuurlijke getallen. Het belangrijkste doel van dit hoofdstuk is uit te leggen waarom, binnen Bolzano's conceptuele benadering van de natuurlijke getallen, de vraag hoe hij de grootte van oneindige collecties meet, geherformuleerd moet worden. Wij betogen dat het niet mogelijk is om de grootte van een gegeven oneindige collectie van natuurlijke getallen te bepalen, omdat deze collectie altijd door middel van een bepaald concept zal worden gegeven, en het is dit concept dat bepaalt hoe de grootte van de collectie moet worden berekend. Deze benadering heeft het voordeel dat ze verklaart hoe Bolzano's opvattingen over oneindige collecties van natuurlijke getallen evolueren tussen de _Wissenschaftslehre_ (1837) en de tekst _Paradoxien des Unendlichen_ (1851).

Hoofdstuk 4 behandelt Bolzano's meest geavanceerde getallenstelsel, dat van de meetbare getallen. Vanaf het moment dat de betreffende tekst voor het eerst aan het licht kwam, zijn Bolzano's meetbare getallen gelezen als zijn poging de reële getallen te presenteren. Dit argument is vooral naar voren gebracht door aan te tonen dat Bolzano's presentatie kan worden vertaald in een op reeksen gebaseerde presentatie van de reële getallen die sterk lijkt op die van Cantor of Dedekind (afhankelijk van hoe het wordt uitgevoerd). Hoewel we het ermee eens zijn dat Bolzano's meetbare getallen gezien moeten worden als Bolzano's poging tot een rigoureuze presentatie van de reële getallen, betogen we dat, wil het rigoureus zijn, het niet het soort presentatie kan zijn dat de sequentie-interpretaties ervan maken. We betogen ook dat sequentie-interpretaties juist gemotiveerd zijn als poging aan te tonen dat Bolzano op de een of andere manier 'al die tijd gelijk had', waarbij gelijk hebben neerkomt op het anticiperen op een Cantor-achtige benadering. Bovendien introduceert een dergelijke interpretatie een groot aantal fouten in Bolzano's presentatie die er niet zijn.

Met hoofdstuk 5, het laatste over Bolzano's wiskunde, verleggen we onze aandacht van getallenstelsels naar Bolzano's 'berekeningen van het oneindige', zoals die voorkomen in _Paradoxien_ §§29-33. Hier wordt ingegaan tegen wat een van de pijlers is geweest van Bolzano's interpretaties, namelijk de gedachte dat de _Paradoxien_ een anticipatie bevatten op Cantor's transfiniete rekenkunde. Het is nooit Bolzano's bedoeling geweest om de grootte van oneindige (op verzamelingen lijkende) collecties te meten, hij wilde alleen maar een principiële manier om met oneindige sommen te rekenen. Deze nieuwe interpretatie werpt licht op passages uit de _Paradoxien_ die anders moeilijk te begrijpen zijn en stelt ons ook in staat Bolzano's rekenkunde van het oneindige als coherent te verdedigen.

Hoofdstuk 6 tenslotte bevat een vergelijking tussen een gangbaar 19e eeuws begrip van hoe wiskundige concepten en domeinen uit te breiden, zoals dat door Dedekind wordt geïllustreerd, en een recente poging om met behulp van modeltheoretische noties uit te leggen wat domeinuitbreidingen, en vooral domeinuitbreidingen via ideale elementen, geacht worden te doen. Ik toets elk voorstel aan een reeks prototypische gevallen van domeinuitbreiding, waaronder enkele uit Dedekind's eigen wiskundige werk, en concludeer dat noch het moderne voorstel van Ken Manders (1989) noch het op de 19e eeuw geïnspireerde voorstel een volledige karakterisering kan bieden van domeinuitbreidingen via ideale elementen. Desondanks geeft dit negatieve resultaat inzicht: het doet ons beseffen dat elk criterium bedoeld is om uitbreidingen te vatten die bedoeld zijn om verschillende kenmerken te behouden van het domein van waaruit we vertrekken.