Modal Quantifiers
Natasha Alechina 

Samenvatting:

Dit proefschrift gaat over een quantificatietheorie waar de variabelen van elkaar afhankelijk kunnen zijn: de waarden die een variabele kan nemen, hangen af van de waarden van andere variabelen. De quantoren in zo’n theorie noem ik modale quantoren, omdat ze zich in veel opzichten gedragen als modale operatoren. Namelijk, de betekenis van een quantor is pas gegeven als wij weten in welke punt (bedeling) de formule geevalueerd wordt.

In de inleiding geef ik voorbeelden van modale quantoren: ‘gewone’ ∀ en ∃ (geen afhankelijkheid tussen variabelen), gegeneraliseerde quantoren als ‘voor bijna alle’, ‘voor overaftelbaar veel’, quantoren in de logica’s met beperkte verzamelingen bedelingen, etc. Gegeven zo veel voorbeelden uit verschillende gebieden, lijkt het nuttig de algemene theorie van dergelijke quantoren te bestuderen en de analogie met modale logica te gebruiken om nieuwe stellingen te bewijzen.

In hoofdstuk 2 probeer ik een algemene definitie van modale quantoren te geven en onderzoek ik de relaties tussen verschillende voorbeelden van modale quantoren. Ik presenteer een axiomatisering van een ‘basislogica’ en geef aan hoe andere quantorlogica’s zich verhouden tot deze basislogica. 

In hoofdstukken 3 en 4 bestudeer ik gegeneraliseerde quantoren die de volgende semantiek hebben: de quantor loopt over alle objecten die afhankelijk zijn van de parameters van de formule onder de quantor.
In hoofdstuk 3 geef ik een axiomatisering van de minimale logica van dergelijke quantoren en bewijs dat deze beslisbaar is en de interpolatie eigenschap heeft.
In hoofdstuk 4 bestudeer ik extensies van de minimale logica, vooral de correspondentie tussen quantoraxioma’s en eigenschappen van de afhankelijkheidsrelatie.

In hoofdstuk 5 breid ik deze technieken uit naar het geval van binaire gegeneraliseerde quantoren, waar de binaire quantor Πx(φ, ψ) de intuitive betekenis heeft ‘voor alle x’s die φ-typisch zijn, ψ geldt’. Ik laat zien dat met behulp van deze quantoren het redeneren met plausibele generalisaties geformaliseerd kan worden.

Dit proefschrift moet aantonen dat modale quantoren in veel gebieden op natuurlijke wijze ontstaan en interessante technische eigenschappen hebben, en dat men kan verwachten dat er in veel gebieden ook toepassingen van modale quantoren gevonden kunnen worden.